Найдите трёхзначное натуральное число, меньшее 500, которое при делении на 5 и на 8 даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое число имеет вид $$100a + 10b + c$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ - цифры от 0 до 9, причем $$a
e 0$$. По условию, число меньше 500, следовательно, $$a$$ может быть 1, 2, 3 или 4.

Также дано, что при делении на 5 и на 8 число дает одинаковые ненулевые остатки. Пусть остаток равен $$r$$, где $$r
e 0$$. Тогда можно записать:

$$100a + 10b + c = 5k + r$$ $$100a + 10b + c = 8m + r$$

где $$k$$ и $$m$$ - целые числа.

Из этих уравнений следует, что $$5k + r = 8m + r$$, откуда $$5k = 8m$$. Это означает, что $$5k$$ делится на 8, а так как 5 и 8 взаимно простые, то $$k$$ должно делиться на 8. Значит, $$k = 8n$$, где $$n$$ - целое число. Тогда $$5(8n) = 8m$$, откуда $$m = 5n$$.

Таким образом, наше число можно представить в виде:

$$100a + 10b + c = 5(8n) + r = 40n + r$$

По условию, $$c = \frac{a + b}{2}$$, что означает, что $$a + b$$ должно быть четным числом, а также $$a + b = 2c$$. Поскольку $$a+b$$ четно, то либо обе цифры четные, либо обе нечетные.

Поскольку число меньше 500, рассмотрим возможные значения для $$a$$: 1, 2, 3, 4.

Также дано, что остаток при делении на 5 и 8 одинаковый и ненулевой, то есть $$r = 1, 2, 3, 4$$.

Рассмотрим число 481. Остаток от деления на 5 равен 1, остаток от деления на 8 равен 1. $$c = 1$$, $$a = 4$$, $$b = 8$$. Проверим, является ли $$c$$ средним арифметическим $$a$$ и $$b$$: $$\frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$. Не подходит.

Рассмотрим число 404. Остаток от деления на 5 равен 4, остаток от деления на 8 равен 4. $$c = 4$$, $$a = 4$$, $$b = 0$$. Проверим, является ли $$c$$ средним арифметическим $$a$$ и $$b$$: $$\frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2$$. Не подходит.

Рассмотрим число 242. Остаток от деления на 5 равен 2, остаток от деления на 8 равен 2. $$c = 2$$, $$a = 2$$, $$b = 4$$. Проверим, является ли $$c$$ средним арифметическим $$a$$ и $$b$$: $$\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$. Не подходит.

Рассмотрим число 163. Остаток от деления на 5 равен 3, остаток от деления на 8 равен 3. $$c = 3$$, $$a = 1$$, $$b = 6$$. Проверим, является ли $$c$$ средним арифметическим $$a$$ и $$b$$: $$\frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$. Не подходит.

Рассмотрим число 121. Остаток от деления на 5 равен 1, остаток от деления на 8 равен 1. $$c = 1, a = 1, b = 2$$. Проверим: $$\frac{1+2}{2} = 1.5
e 1$$

Рассмотрим число 323. Остаток от деления на 5 равен 3, остаток от деления на 8 равен 3. $$c = 3, a = 3, b = 2$$. Проверим: $$\frac{3+2}{2} = 2.5
e 3$$

Рассмотрим число 444. Остаток от деления на 5 равен 4, остаток от деления на 8 равен 4. $$c = 4, a = 4, b = 4$$. Проверим: $$\frac{4+4}{2} = 4 $$. Подходит!

Ответ: 444