Найдите углы \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\), если \(BM\) и \(BK\) - биссектрисы соответственно внутреннего и внешнего углов при вершине \(B\), причём \(BM = BK\), а \(\angle ABC = 20^\circ\) (рис. 8).

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! По условию, \(BM\) и \(BK\) – биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине \(B\) треугольника \(ABC\). Также дано, что \(BM = BK\) и \(\angle ABC = 20^\circ\). 1. Так как \(BM\) – биссектриса угла \(ABC\), то \(\angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 20^\circ = 10^\circ\). 2. Угол \(CBK\) является внешним углом при вершине \(B\), поэтому \(\angle CBK = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\). Поскольку \(BK\) – биссектриса внешнего угла, то \(\angle CBK = \angle MBK = \frac{1}{2} \angle CBK = \frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник \(MBK\). В этом треугольнике \(BM = BK\), следовательно, он равнобедренный, и углы при основании \(MK\) равны. То есть \(\angle BMK = \angle BKM\). 4. Найдем угол \(\angle MBK\): \(\angle MBK = \angle MBC + \angle CBK = 10^\circ + 80^\circ = 90^\circ\). 5. Теперь найдем углы при основании \(MK\) в треугольнике \(MBK\). Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то \(\angle BMK = \angle BKM = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle MBK) = \frac{1}{2} (180^\circ - 90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ\). 6. Угол \(\angle BMA\) является смежным с углом \(\angle BMK\), поэтому \(\angle BMA = 180^\circ - \angle BMK = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). 7. Теперь рассмотрим треугольник \(ABM\). В этом треугольнике известны два угла: \(\angle ABM = 10^\circ\) и \(\angle BMA = 135^\circ\). Тогда угол \(A\) можно найти как \(\angle A = 180^\circ - \angle ABM - \angle BMA = 180^\circ - 10^\circ - 135^\circ = 35^\circ\). 8. Теперь найдем угол \(C\) в треугольнике \(ABC\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle ABC = 180^\circ - 35^\circ - 20^\circ = 125^\circ\).

Ответ: \(\angle A = 35^\circ\), \(\angle C = 125^\circ\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!