Найдите углы А и С треугольника АВС, если ВМ и ВК - биссектрисы соответственно внутреннего и внешнего углов при вершине В, причём ВМ = BK, a ∠ABC = 20° (рис. 8). ∠A = ZC =

Рассмотрим треугольник ВМК. Так как ВМ = ВК, то треугольник ВМК - равнобедренный, углы при основании МК равны.

Смежный угол с углом АВС равен 180° - 20° = 160°.

Так как ВК - биссектриса внешнего угла, то угол КВС = 160° : 2 = 80°.

Угол МВС = углу АВС : 2 = 20° : 2 = 10° (так как ВМ - биссектриса угла АВС).

Угол МВК = угол КВС - угол МВС = 80° - 10° = 70°.

В равнобедренном треугольнике ВМК углы при основании равны: (180° - 70°) : 2 = 55°.

Значит, угол ВМК = углу ВКМ = 55°.

Угол ВМА смежный с углом ВМК, то есть угол ВМА = 180° - 55° = 125°.

В треугольнике АВМ: угол АВМ = 10°, угол ВМА = 125°, тогда угол ВАМ = 180° - 10° - 125° = 45°.

Угол А = 45°.

Угол ВСК = угол ВКМ = 55°, а угол АВС = 20°, тогда угол С = 180° - 45° - 20° = 115°.

Угол С = 115°.

Ответ: ∠А = 45°, ∠C = 115°