Найдите углы ДАВС, если точка О равноудалена от его сторон.

Решение:

Точка, равноудаленная от сторон треугольника, является центром вписанной окружности (инцентром). Это означает, что точка O является центром вписанной окружности, а значит, AO, BO, CO — биссектрисы углов A, B, C соответственно.

В треугольнике ABC:

• \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

В треугольнике AOC, \( \angle AOC = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2}) \). Используем формулу для угла между биссектрисами: \( \angle AOC = 90^\circ + \frac{\angle B}{2} \).

Из рисунка 4, \( \angle AOC = 122^\circ \).

• \( 122^\circ = 90^\circ + \frac{\angle B}{2} \)
• \( \frac{\angle B}{2} = 122^\circ - 90^\circ = 32^\circ \)
• \( \angle B = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ \)

Из рисунка 4, \( \angle BAC = 20^\circ \).

• \( \angle OAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ \)

Теперь найдем \( \angle C \):

• \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
• \( 20^\circ + 64^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( 84^\circ + \angle C = 180^\circ \)
• \( \angle C = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ \)

Проверим угол \( \angle AOC \) с найденными углами:

• \( \angle AOC = 180^\circ - (\frac{20^\circ}{2} + \frac{96^\circ}{2}) = 180^\circ - (10^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ \).

Это соответствует данным на рисунке.

Ответ: \( \angle BAC = 20^\circ \), \( \angle ABC = 64^\circ \), \( \angle BCA = 96^\circ \).