Контрольные задания
Вопрос:

Найдите углы параллелограмма ABCD, если: a) ∠A = 84°; б) ∠A - ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C=142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD=37°.

Фото задания: Найдите углы параллелограмма ABCD, если: a) ∠A = 84°; б) ∠A - ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C=142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD=37°.Фото задания

Ответ:

Задание а) ∠A = 84°

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Дано:

  • Параллелограмм ABCD.
  • \( \angle A = 84° \).

Найти: \( \angle B, \angle C, \angle D \).

Решение:

  1. \( \angle C = \angle A = 84° \) (противоположные углы).
  2. \( \angle B = 180° - \angle A = 180° - 84° = 96° \) (углы, прилежащие к одной стороне).
  3. \( \angle D = \angle B = 96° \) (противоположные углы).

Ответ: \( \angle B = 96°, \angle C = 84°, \angle D = 96° \).

Задание б) ∠A - ∠B = 55°

Дано:

  • Параллелограмм ABCD.
  • \( \angle A - \angle B = 55° \).

Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \).

Решение:

  1. \( \angle A + \angle B = 180° \) (углы, прилежащие к одной стороне).
  2. Составим систему уравнений:
    • \( \angle A - \angle B = 55° \)
    • \( \angle A + \angle B = 180° \)
  3. Сложим уравнения: \( 2 \angle A = 235° \) \( \Rightarrow \angle A = 117.5° \).
  4. Вычтем первое уравнение из второго: \( 2 \angle B = 125° \) \( \Rightarrow \angle B = 62.5° \).
  5. \( \angle C = \angle A = 117.5° \) (противоположные углы).
  6. \( \angle D = \angle B = 62.5° \) (противоположные углы).

Ответ: \( \angle A = 117.5°, \angle B = 62.5°, \angle C = 117.5°, \angle D = 62.5° \).

Задание в) ∠A + ∠C = 142°

Дано:

  • Параллелограмм ABCD.
  • \( \angle A + \angle C = 142° \).

Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \).

Решение:

  1. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \( \angle A = \angle C \).
  2. \( \angle A + \angle A = 142° \) \( \Rightarrow 2 \angle A = 142° \) \( \Rightarrow \angle A = 71° \).
  3. \( \angle C = 71° \).
  4. \( \angle B = 180° - \angle A = 180° - 71° = 109° \).
  5. \( \angle D = \angle B = 109° \).

Ответ: \( \angle A = 71°, \angle B = 109°, \angle C = 71°, \angle D = 109° \).

Задание г) ∠A = 2∠B

Дано:

  • Параллелограмм ABCD.
  • \( \angle A = 2 \angle B \).

Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \).

Решение:

  1. \( \angle A + \angle B = 180° \) (углы, прилежащие к одной стороне).
  2. Подставим \( \angle A = 2 \angle B \) в первое уравнение: \( 2 \angle B + \angle B = 180° \).
  3. \( 3 \angle B = 180° \) \( \Rightarrow \angle B = 60° \).
  4. \( \angle A = 2 \angle B = 2 · 60° = 120° \).
  5. \( \angle C = \angle A = 120° \) (противоположные углы).
  6. \( \angle D = \angle B = 60° \) (противоположные углы).

Ответ: \( \angle A = 120°, \angle B = 60°, \angle C = 120°, \angle D = 60° \).

Задание д) ∠CAD = 16°, ∠ACD=37°

Дано:

  • Параллелограмм ABCD.
  • \( \angle CAD = 16° \).
  • \( \angle ACD = 37° \).

Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \).

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \( \angle ADC + \angle CAD + \angle ACD = 180° \).
  2. \( \angle ADC + 16° + 37° = 180° \).
  3. \( \angle ADC + 53° = 180° \) \( \Rightarrow \angle ADC = 180° - 53° = 127° \).
  4. \( \angle B = \angle ADC = 127° \) (противоположные углы).
  5. \( \angle A = 180° - \angle ADC = 180° - 127° = 53° \) (углы, прилежащие к одной стороне).
  6. \( \angle C = \angle A = 53° \).
  7. Проверка: \( \angle A = \angle CAD + \angle CAB = 16° + \angle CAB \). \( \angle C = \angle ACD + \angle ACB = 37° + \angle ACB \).
  8. В параллелограмме ABCD: \( \angle A = 53° \), \( \angle C = 53° \).
  9. \( \angle CAD = 16° \), \( \angle ACD = 37° \).
  10. \( \angle BAC = \angle A - \angle CAD = 53° - 16° = 37° \).
  11. \( \angle BCA = \angle C - \angle ACD = 53° - 37° = 16° \).
  12. \( \angle ADC = 127° \), \( \angle B = 127° \).

Ответ: \( \angle A = 53°, \angle B = 127°, \angle C = 53°, \angle D = 127° \).