Найдите углы параллелограмма, если сумма двух его углов равна 134°. В четырёхугольнике ABCD AO = OC, ∠ACD = ∠BAC. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

1. В параллелограмме соседние углы в сумме дают \(180°\), а противоположные равны. Поэтому сумма соседних углов не может быть равна \(134°\); сумма двух противоположных углов составляет удвоенную величину одного угла.

Пусть каждый из этих противоположных углов равен \(x\). Тогда \(2x=134°\), откуда \(x=67°\). Соседний угол равен \(180°-67°=113°\).

Ответ: углы параллелограмма — 67°, 113°, 67° и 113°.

2. По условию \(AO=OC\), значит, точка \(O\) — середина диагонали \(AC\). Также \(\angle ACD=\angle BAC\). Эти углы образованы секущей \(AC\) с прямыми \(CD\) и \(AB\); равенство накрест лежащих углов даёт \(AB\parallel CD\).

В условии не указано, что \(O\) — точка пересечения диагоналей, или что \(B,O,D\) лежат на одной прямой. Поэтому из приведённых данных нельзя заключить, что диагонали четырёхугольника делятся точкой \(O\) пополам, и доказать требуемое утверждение нельзя. Например, возьмём \(A=(0,0)\), \(C=(2,0)\), \(O=(1,0)\), \(B=(0,1)\), \(D=(2,1)\). Условия \(AO=OC\) и \(\angle ACD=\angle BAC\) выполнены, но четырёхугольник \(ABCD\) самопересекается при указанном порядке вершин и не является параллелограммом.

Чтобы утверждение можно было доказать, нужно дополнительно знать, что \(O\) лежит на диагонали \(BD\) (то есть является точкой пересечения диагоналей). При таком условии из \(AO=OC\) и равенства вертикальных углов следует равенство треугольников \(AOB\) и \(COD\), откуда \(BO=OD\). Тогда диагонали делятся пополам, и четырёхугольник — параллелограмм.