259 Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника. 260 В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°. 261 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника. 262 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см. Найдите АС И АВ. 63 Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите АМ, если АВ = 12 см. 54 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника. 5 Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника. 6 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны. В треугольниках АВС и А,В,С, углы А и А, — прямые, BD

Привет, мой дорогой ученик! Давай решим эти задачи вместе.

Задача 259

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны, а угол при вершине равен 90°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то каждый из углов при основании равен \[ (180° - 90°) / 2 = 45° \]

Ответ: 45°, 45°, 90°

Задача 260

В равнобедренном треугольнике CDE, CD = DE, ∠D = 54°. Высота CF является и медианой, и биссектрисой. Значит, ∠CDF = ∠EDF = 54°/2 = 27°.

∠ECF = 90° - ∠EDF = 90° - 27° = 63°.

Ответ: 63°

Задача 261

Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет равен a. Тогда c + a = 26.4. Один из углов равен 60°, значит, другой угол равен 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Тогда a = c/2.

Подставим в первое уравнение: c + c/2 = 26.4, 3c/2 = 26.4, c = 26.4 * 2 / 3 = 17.6.

Ответ: 17.6 см

Задача 262

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине A равен 120°. Тогда ∠A = 180° - 120° = 60°. Значит, ∠B = 90° - 60° = 30°.

Пусть AC = x, тогда AB = 2x (т.к. катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы). AC + AB = 18, значит, x + 2x = 18, 3x = 18, x = 6.

Тогда AC = 6 см, AB = 12 см.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см

Задача 263

Из середины D стороны BC равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой AC. AB = 12 см, значит, BC = AC = 12 см. DM - медиана и высота в треугольнике BDC.

Пусть AM = x. Тогда MC = 12 - x. DM = BD * sin(60°) = 6 * √3 / 2 = 3√3. MC = DM * ctg(30°) = 3√3 * √3 = 9. Тогда 12 - x = 9, x = 3.

Ответ: AM = 3 см

Задача 54

Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, AB = BC, ∠B = 120°. Высота AH = 9 см. ∠A = ∠C = (180° - 120°) / 2 = 30°. В прямоугольном треугольнике ABH, AB = AH / sin(C) = 9 / (1/2) = 18. AC = 2 * AB * cos(C) = 2 * 18 * cos(30°) = 36 * √3 / 2 = 18√3.

Ответ: 18√3 см

Задача 5

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, AB = BC = 15.2 см, высота BH = 7.6 см. Sin(A) = BH / AB = 7.6 / 15.2 = 1/2. Значит, ∠A = 30°, ∠C = 30°, ∠B = 180° - 30° - 30° = 120°.

Ответ: 30°, 30°, 120°

Задача 6

Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, AB = BC. Высоты AA1 и CC1. Рассмотрим треугольники ABA1 и CBC1. AB = BC, ∠A = ∠C, ∠AA1B = ∠CC1B = 90°. Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Тогда AA1 = CC1.

Что и требовалось доказать.