115. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на 18° меньше другого. Сколько решений имеет задача?

Решение:

Пусть углы равнобедренного треугольника равны $$x$$, $$x$$ и $$y$$. Тогда сумма углов треугольника равна 180°:

$$x + x + y = 180$$

$$2x + y = 180$$

По условию, один из углов на 18° меньше другого. Рассмотрим два случая:

1) $$x = y - 18$$

Подставим это выражение в уравнение суммы углов:

$$2(y - 18) + y = 180$$

$$2y - 36 + y = 180$$

$$3y = 216$$

$$y = 72$$

Тогда $$x = 72 - 18 = 54$$.

Углы треугольника: 54°, 54°, 72°.

2) $$y = x - 18$$

Подставим это выражение в уравнение суммы углов:

$$2x + x - 18 = 180$$

$$3x = 198$$

$$x = 66$$

Тогда $$y = 66 - 18 = 48$$.

Углы треугольника: 66°, 66°, 48°.

3) $$y = x + 18$$

Подставим это выражение в уравнение суммы углов:

$$2x + x + 18 = 180$$

$$3x = 162$$

$$x = 54$$

Тогда $$y = 54 + 18 = 72$$.

Углы треугольника: 54°, 54°, 72°.

4) $$x = y + 18$$

Подставим это выражение в уравнение суммы углов:

$$2(y + 18) + y = 180$$

$$2y + 36 + y = 180$$

$$3y = 144$$

$$y = 48$$

Тогда $$x = 48 + 18 = 66$$.

Углы треугольника: 66°, 66°, 48°.

Мы получили два разных набора углов: 54°, 54°, 72° и 66°, 66°, 48°.

Ответ: 2