4. Найдите углы равнобедренного треугольника, концы основания которого делят дугу окружности в отношении 1:8. Рассмотрите все возможные случаи.

Для решения этой задачи рассмотрим два возможных случая расположения дуг, на которые делится окружность концами основания равнобедренного треугольника. Случай 1: Пусть дуга, соответствующая основанию, составляет 1/9 часть окружности, а оставшаяся дуга – 8/9 окружности. Полная окружность составляет 360 градусов. Следовательно, дуга, соответствующая основанию, равна: $$\frac{1}{9} \cdot 360^{\circ} = 40^{\circ}$$ Тогда вписанный угол, опирающийся на эту дугу (угол при вершине равнобедренного треугольника), равен половине дуги: $$\angle \text{при вершине} = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ}$$ Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно, сумма углов при основании равна: $$180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ}$$ Тогда каждый угол при основании равен: $$\angle \text{при основании} = \frac{160^{\circ}}{2} = 80^{\circ}$$ Случай 2: Теперь рассмотрим случай, когда дуга, стягиваемая основанием, составляет 8/9 окружности, а оставшаяся дуга – 1/9. В этом случае дуга, соответствующая основанию, равна: $$\frac{8}{9} \cdot 360^{\circ} = 320^{\circ}$$ Тогда угол при вершине равен половине дуги: $$\angle \text{при вершине} = \frac{1}{2} \cdot 320^{\circ} = 160^{\circ}$$ Сумма углов при основании равна: $$180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$$ И каждый угол при основании равен: $$\angle \text{при основании} = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$$ Ответ: В первом случае углы треугольника равны 20°, 80°, 80°. Во втором случае углы треугольника равны 160°, 10°, 10°.