Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как 3:6:11. 2. Сумма одной пары внешних углов треугольника рав- на 194°, а сумма другой пары внешних углов — 321°. Найдите углы треугольника. 3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них на 27° больше другого. 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС из вершин А и В проведены высоты, которые при пересечении образуют угол 100°. Найдите углы треу- гольника. 5. Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра. ариант 4 1. Один из углов треугольника в три раза больше второго угла и на 5° меньше третьего. Найдите углы треуголь-
Ответ:
Задание 3.1
Пусть углы треугольника равны 3x, 6x и 11x. Сумма углов треугольника равна 180°.
\[3x + 6x + 11x = 180\] \[20x = 180\] \[x = \frac{180}{20} = 9\]Тогда углы треугольника равны:
- 3x = 3 * 9 = 27°
- 6x = 6 * 9 = 54°
- 11x = 11 * 9 = 99°
Ответ: Углы треугольника: 27°, 54°, 99°
Задание 3.2
Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Пусть внешние углы при вершинах A и B равны 194°, а внешние углы при каких-то других вершинах равны 321°. Это невозможно, так как сумма всех внешних углов должна быть 360°.
Предположим, что сумма двух внешних углов равна 194°, а сумма двух других внешних углов равна 321°. Тогда:
Пусть внешние углы при вершинах A и B составляют 194°:
\[\angle A_{ext} + \angle B_{ext} = 194\]Пусть внешние углы при вершинах B и C составляют 321°:
\[\angle B_{ext} + \angle C_{ext} = 321\]Мы знаем, что \[\angle A_{ext} + \angle B_{ext} + \angle C_{ext} = 360\]
Выразим \[\angle A_{ext}\] и \[\angle C_{ext}\] через \[\angle B_{ext}\]:
\[\angle A_{ext} = 194 - \angle B_{ext}\] \[\angle C_{ext} = 321 - \angle B_{ext}\]Подставим в уравнение суммы внешних углов:
\[(194 - \angle B_{ext}) + \angle B_{ext} + (321 - \angle B_{ext}) = 360\] \[515 - \angle B_{ext} = 360\] \[\angle B_{ext} = 515 - 360 = 155\]Теперь найдем \[\angle A_{ext}\] и \[\angle C_{ext}\]:
\[\angle A_{ext} = 194 - 155 = 39\] \[\angle C_{ext} = 321 - 155 = 166\]Внутренние углы треугольника равны:
\[\angle A = 180 - \angle A_{ext} = 180 - 39 = 141\] \[\angle B = 180 - \angle B_{ext} = 180 - 155 = 25\] \[\angle C = 180 - \angle C_{ext} = 180 - 166 = 14\]Ответ: Углы треугольника: 141°, 25°, 14°
Задание 3.3
Пусть углы равнобедренного треугольника будут x, x и y. Рассмотрим два случая:
- x = y + 27 Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, поэтому: x + x + y = 180 (y + 27) + (y + 27) + y = 180 3y + 54 = 180 3y = 126 y = 42 x = 42 + 27 = 69 Углы: 69°, 69°, 42°
- y = x + 27 x + x + y = 180 x + x + (x + 27) = 180 3x + 27 = 180 3x = 153 x = 51 y = 51 + 27 = 78 Углы: 51°, 51°, 78°
Ответ: Варианты углов: 69°, 69°, 42° или 51°, 51°, 78°
Задание 3.4
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены высоты из вершин A и B, которые при пересечении образуют угол 100°. Пусть точка пересечения высот - O. Угол между высотами, опущенными из A и B, равен углу AOB.
Так как угол AOB = 100°, угол между высотой из B и основанием AC равен 90°, а угол между высотой из A и стороной AB также равен 90°, мы можем рассмотреть четырехугольник, образованный вершинами A, B, точкой пересечения высот O, и основанием AC. В этом четырехугольнике два угла равны 90° (углы между высотами и сторонами), а один угол равен 100° (угол AOB). Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому четвертый угол, который является углом при вершине C (или A, т.к. треугольник равнобедренный) равен:
360° - 90° - 90° - 100° = 80°
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, углы A и C равны 80°.
Теперь найдем угол B: 180° - 80° - 80° = 20°
Ответ: Углы треугольника: 80°, 80°, 20°
Задание 3.5
Доказательство, что сумма медиан треугольника меньше его периметра:
Пусть медианы треугольника равны m_a, m_b, m_c, а стороны a, b, c. Известно, что каждая медиана меньше полусуммы двух прилежащих сторон, т.е.:
- m_a < (b + c) / 2
- m_b < (a + c) / 2
- m_c < (a + b) / 2
Сложим эти неравенства:
m_a + m_b + m_c < (b + c) / 2 + (a + c) / 2 + (a + b) / 2
m_a + m_b + m_c < (2a + 2b + 2c) / 2
m_a + m_b + m_c < a + b + c
Следовательно, сумма медиан треугольника меньше его периметра.
Ответ: Сумма медиан треугольника меньше его периметра, что и требовалось доказать.
Задание 4.1
Пусть второй угол равен x, тогда первый угол равен 3x, а третий угол равен 3x + 5. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
3x + x + 3x + 5 = 180
7x + 5 = 180
7x = 175
x = 25
- Первый угол: 3 * 25 = 75°
- Второй угол: 25°
- Третий угол: 75 + 5 = 80°
Ответ: Углы треугольника: 75°, 25°, 80°
