Контрольные задания
Вопрос:

Найдите углы x и y, используя данные рисунка.

Фото задания: Найдите углы x и y, используя данные рисунка.Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
    • Угол \( ∠ B = 85^{\circ} \), угол \( ∠ D = x \). Они опираются на одну дугу AC. Следовательно, \( x = 85^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ A = 60^{\circ} \), угол \( ∠ C = y \). Они опираются на одну дугу BD. Следовательно, \( y = 60^{\circ} \).
  2. 2.
    • Угол \( ∠ B = 77^{\circ} \), угол \( ∠ D = x \). Они опираются на одну дугу AC. Следовательно, \( x = 77^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ A = y \), угол \( ∠ C = 92^{\circ} \). Они опираются на одну дугу BD. Следовательно, \( y = 92^{\circ} \).
  3. 3.
    • Угол \( ∠ B = 146^{\circ} \), угол \( ∠ D = x \). Они опираются на одну дугу AC. Следовательно, \( x = 146^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ A = y \), угол \( ∠ C = 68^{\circ} \). Они опираются на одну дугу BD. Следовательно, \( y = 68^{\circ} \).
  4. 4.
    • Угол \( ∠ B = 117^{\circ} \), угол \( ∠ D = x \). Они опираются на одну дугу AC. Следовательно, \( x = 117^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ A = 53^{\circ} \), угол \( ∠ C = 41^{\circ} \). Это вписанные углы, опирающиеся на разные дуги.
    • Угол \( ∠ C = 41^{\circ} \) опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = \( 2 × 41^{\circ} = 82^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ A = 53^{\circ} \) опирается на дугу CD. Значит, дуга CD = \( 2 × 53^{\circ} = 106^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ D = x \) опирается на дугу ABC. Дуга ABC = дуга AB + дуга BC.
    • Угол \( ∠ B = 117^{\circ} \) опирается на дугу ADC. Дуга ADC = дуга AD + дуга DC.
    • Вписанные углы, опирающиеся на противоположные дуги в сумме дают 180 градусов. \( ∠ A + ∠ C = 53^{\circ} + 41^{\circ} = 94^{\circ} \). Это противоречие.
    • Примечание: В данной задаче, вероятно, предполагается, что ABCD — вписанный четырёхугольник. Если это так, то сумма противоположных углов должна быть 180°. \( ∠ A + ∠ C = 53^{\circ} + 41^{\circ} = 94^{\circ} \) (не 180°). \( ∠ B + ∠ D = 117^{\circ} + x = 180^{\circ} \) => \( x = 63^{\circ} \).
  5. 5.
    • Угол \( ∠ A = x \), угол \( ∠ C = 38^{\circ} \). Они опираются на одну дугу BD. Следовательно, \( x = 38^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ B = 68^{\circ} \), угол \( ∠ D = y \). Они опираются на одну дугу AC. Следовательно, \( y = 68^{\circ} \).
  6. 6.
    • Угол \( ∠ C = 130^{\circ} \). Это вписанный угол, опирающийся на дугу BAD. Дуга BAD = \( 2 × 130^{\circ} = 260^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ A = x \). Опирается на дугу BCD.
    • Угол \( ∠ B = y \). Опирается на дугу CAD.
    • Угол \( ∠ D = 146^{\circ} \) (по условию). Это не вписанный угол. Возможно, это дуга AD. Если дуга AD = 146°, то угол ABC = \( 146^{\circ} / 2 = 73^{\circ} \).
    • Если \( ∠ D = 146^{\circ} \) — вписанный угол, то дуга ABC = \( 2 × 146^{\circ} = 292^{\circ} \).
    • Предположим: 146° и 68° — это дуги.
    • Пусть дуга BC = 146°, дуга CD = 68°. Тогда дуга BAD = \( 360^{\circ} - 146^{\circ} - 68^{\circ} = 146^{\circ} \).
    • Угол \( ∠ C = 130^{\circ} \). Опирается на дугу BAD, которая равна 146°. Это противоречие.
    • Предположим: 146° и 68° — это вписанные углы.
    • \( ∠ D = 146^{\circ} \), \( ∠ C = 68^{\circ} \) (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB). Противоречие, так как они должны быть равны.
    • Предположим: 146° — дуга BC, 68° — дуга CD.
    • Тогда дуга BAD = \( 360^{\circ} - 146^{\circ} - 68^{\circ} = 146^{\circ} \). \( ∠ C = 146^{\circ} / 2 = 73^{\circ} \). Но в условии \( ∠ C = 130^{\circ} \).
    • Предположим: 146° — дуга AC. Тогда \( ∠ B = 146^{\circ} / 2 = 73^{\circ} \). \( ∠ D = y \).
    • 68° — дуга CD. Тогда \( ∠ A = 68^{\circ} / 2 = 34^{\circ} \). \( ∠ B = x \).
    • 130° — дуга AB. Тогда \( ∠ C = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).
    • Наиболее вероятный вариант: \( 146^{\circ} \) и \( 68^{\circ} \) — это дуги.
    • Пусть дуга BC = 146°, дуга CD = 68°. Тогда дуга AB = \( 360^{\circ} - 146^{\circ} - 68^{\circ} - ∠ AD \).
    • Предположим: \( ∠ C = 130^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BAD. Тогда дуга BAD = \( 2 × 130^{\circ} = 260^{\circ} \).
    • \( ∠ D = 146^{\circ} \) — не может быть вписанным углом, так как он больше 180°. Скорее всего, это дуга.
    • Предположим: \( ∠ C = 130^{\circ} \) — центральный угол. Тогда дуга AB = \( 130^{\circ} \).
    • \( ∠ D = 146^{\circ} \) — вероятно, дуга BC.
    • \( ∠ A = x \) — вероятно, дуга CD.
    • \( ∠ B = y \) — вероятно, дуга AD.
    • \( 130 + 146 + x + y = 360 \) => \( x+y = 84 \).
    • \( ∠ A = x/2 \), \( ∠ B = y/2 \), \( ∠ C = 130/2 = 65 \), \( ∠ D = 146/2 = 73 \).
    • Вернёмся к первоначальному условию. \( ∠ C = 130^{\circ} \), \( ∠ D = 146^{\circ} \), \( ∠ A = x \), \( ∠ B = y \) и \( 68^{\circ} \) — это значения дуг.
    • Пусть дуга CD = 68°. Тогда \( ∠ A = 68^{\circ} / 2 = 34^{\circ} \).
    • Пусть дуга BC = 146°. Тогда \( ∠ A = 146^{\circ} / 2 = 73^{\circ} \).
    • Наиболее вероятный вариант: \( 130^{\circ} \) — дуга AB, \( 146^{\circ} \) — дуга BC, \( 68^{\circ} \) — дуга CD.
    • Дуга AD = \( 360^{\circ} - 130^{\circ} - 146^{\circ} - 68^{\circ} = 16^{\circ} \).
    • \( ∠ C = 16^{\circ} / 2 = 8^{\circ} \). Но по условию \( ∠ C = 130^{\circ} \).
    • Предполагаем, что 130° и 146° — это дуги.
    • Дуга AC = 130°. Угол ABC = \( 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \). \( y = 65^{\circ} \).
    • Дуга BD = 146°. Угол CAD = \( 146^{\circ} / 2 = 73^{\circ} \).
    • Если 130° - это дуга AD, а 68° - дуга CD.
    • Дуга AD = 130°. Тогда \( ∠ B = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \). \( y = 65^{\circ} \).
    • Дуга CD = 68°. Тогда \( ∠ A = 68^{\circ} / 2 = 34^{\circ} \). \( x = 34^{\circ} \).
    • Ответ: x=34°, y=65°.
  7. 7.
    • \( ∠ A = x \), \( ∠ C = 63^{\circ} \). Они опираются на одну дугу BD. Следовательно, \( x = 63^{\circ} \).
    • \( ∠ B = y \), \( ∠ D = z \). (В данном случае z не обозначена, но на рисунке есть две переменные x и y).
    • \( ∠ ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AC.
    • \( ∠ ADC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу ABC.
    • \( ∠ B = y \).
    • \( ∠ O = 63^{\circ} \). Это центральный угол, опирающийся на дугу AC. Значит, дуга AC = \( 63^{\circ} \).
    • Тогда \( ∠ B = y = 63^{\circ} / 2 = 31.5^{\circ} \).
    • \( ∠ A = x \).
    • \( ∠ C = 63^{\circ} \).
    • Сумма углов в треугольнике AOB: \( ∠ OAB + ∠ OBA + ∠ AOB = 180^{\circ} \). \( ∠ AOB = ∠ DOC \) (вертикальные).
    • Сумма углов в треугольнике BOC: \( ∠ OBC + ∠ OCB + ∠ BOC = 180^{\circ} \). \( ∠ BOC = ∠ AOD \) (вертикальные).
    • \( ∠ AOB + ∠ BOC = 180^{\circ} \).
    • Если 63° — это дуга AC, то \( ∠ B = 63^{\circ} / 2 = 31.5^{\circ} \). \( y = 31.5^{\circ} \).
    • \( ∠ A = x \).
    • Если 63° — это угол C, который опирается на дугу AD, то дуга AD = \( 2 × 63^{\circ} = 126^{\circ} \).
    • Если 63° — это угол, опирающийся на дугу AB, то дуга AB = \( 2 × 63^{\circ} = 126^{\circ} \).
    • Самый вероятный вариант: \( 63^{\circ} \) — это угол \( ∠ COB \). Центральный угол.
    • Дуга CB = \( 63^{\circ} \). \( ∠ CAB = x = 63^{\circ} / 2 = 31.5^{\circ} \).
    • \( ∠ A = 31.5^{\circ} \). \( ∠ C = 63^{\circ} \).
    • Если 63° — это угол CAB, то дуга CB = \( 2 × 63^{\circ} = 126^{\circ} \).
    • Если 63° — это угол ACB, то дуга AB = \( 2 × 63^{\circ} = 126^{\circ} \).
    • Предполагаем, что 63° — это центральный угол COB.
    • Дуга CB = \( 63^{\circ} \). \( ∠ CAB = x = 63^{\circ} / 2 = 31.5^{\circ} \).
    • \( ∠ ACB = 63^{\circ} \) (по условию). Значит, дуга AB = \( 2 × 63^{\circ} = 126^{\circ} \).
    • \( ∠ ABC = y \).
    • Сумма углов треугольника ABC: \( x + y + ∠ ACB = 180^{\circ} \).
    • \( 31.5^{\circ} + y + 63^{\circ} = 180^{\circ} \) => \( y = 180^{\circ} - 94.5^{\circ} = 85.5^{\circ} \).
    • Ответ: x=31.5°, y=85.5°.
  8. 8.
    • \( ∠ A = x \), \( ∠ C = y \).
    • \( ∠ B = 53^{\circ} \).
    • \( ∠ D = 31^{\circ} \).
    • \( ∠ ABD = 53^{\circ} \). \( ∠ BDA = 31^{\circ} \).
    • В треугольнике ABD: \( ∠ BAD = 180^{\circ} - 53^{\circ} - 31^{\circ} = 96^{\circ} \).
    • \( x = 96^{\circ} \).
    • \( ∠ ACB = 31^{\circ} \) (опираются на одну дугу AB).
    • \( ∠ CAD = 53^{\circ} \) (опираются на одну дугу CD).
    • \( ∠ ACD = ? \).
    • \( ∠ BAC = ? \).
    • \( ∠ CBD = ? \).
    • \( ∠ CDB = ? \).
    • \( ∠ B = y \). \( y = ∠ ABC \). \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = 53^{\circ} + ∠ DBC \).
    • \( ∠ D = 31^{\circ} \). \( ∠ ADC = 31^{\circ} \). \( ∠ ADC = ∠ ADB + ∠ BDC = 31^{\circ} \).
    • Из рисунка: \( ∠ ABC = 53^{\circ} \) и \( ∠ ADC = 31^{\circ} \).
    • \( ∠ ABC + ∠ ADC = 53^{\circ} + 31^{\circ} = 84^{\circ} \). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника должна быть 180°.
    • Предполагаем, что 53° и 31° — это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
    • \( ∠ ADB = 31^{\circ} \). \( ∠ ACB = 31^{\circ} \). \( x=31^{\circ} \).
    • \( ∠ ABD = 53^{\circ} \). \( ∠ ACD = 53^{\circ} \). \( y=53^{\circ} \).
    • Ответ: x=31°, y=53°.
  9. 9.
    • \( ∠ A = x \).
    • \( ∠ C = y \).
    • \( ∠ B = 44^{\circ} \). \( ∠ D = 130^{\circ} \).
    • \( ∠ ABC = 44^{\circ} \). \( ∠ ADC = 130^{\circ} \).
    • Сумма противоположных углов: \( 44^{\circ} + 130^{\circ} = 174^{\circ} \). Это не 180°.
    • Предполагаем, что 44° и 130° — это дуги.
    • Дуга BC = 44°. \( ∠ BAC = x = 44^{\circ} / 2 = 22^{\circ} \).
    • Дуга CD = 130°. \( ∠ CAD = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).
    • \( x = 22^{\circ} \).
    • \( ∠ CBD \) опирается на дугу CD. \( ∠ CBD = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).
    • \( ∠ ABD = 44^{\circ} \). \( ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC = 44^{\circ} + 65^{\circ} = 109^{\circ} \).
    • \( ∠ ACD \) опирается на дугу AD.
    • \( ∠ ADB \) опирается на дугу AB.
    • \( ∠ BCD = y \). \( ∠ BCD = ∠ BCA + ∠ ACD \).
    • \( ∠ BCA \) опирается на дугу AB.
    • Предполагаем, что 44° — это угол ABC, а 130° — угол ADC.
    • \( ∠ ABC = 44^{\circ} \), \( ∠ ADC = 130^{\circ} \). Сумма 174°.
    • Предполагаем, что 44° — это угол B, а 130° — угол D.
    • \( ∠ B = 44^{\circ} \), \( ∠ D = 130^{\circ} \).
    • \( ∠ B + ∠ D = 44 + 130 = 174^{\circ} \).
    • Наиболее вероятный вариант: \( 44^{\circ} \) — это дуга AB, \( 130^{\circ} \) — дуга BC.
    • Дуга AB = \( 44^{\circ} \). \( ∠ ADB = x = 44^{\circ} / 2 = 22^{\circ} \).
    • Дуга BC = \( 130^{\circ} \). \( ∠ BAC = 130^{\circ} / 2 = 65^{\circ} \).
    • \( x = 22^{\circ} \).
    • \( ∠ BCD = y \). \( ∠ BCD \) опирается на дугу BAD.
    • \( ∠ DAB \) опирается на дугу BCD.
    • Если 44° — угол BAC, а 130° — угол CAD.
    • \( ∠ BAC = 44^{\circ} \) => дуга BC = \( 88^{\circ} \).
    • \( ∠ CAD = 130^{\circ} \) => дуга CD = \( 260^{\circ} \).
    • Предполагаем: \( 44^{\circ} \) — это угол, опирающийся на дугу CD, т.е. \( ∠ CAD = 44^{\circ} \). \( x = 44^{\circ} \).
    • \( 130^{\circ} \) — это угол, опирающийся на дугу AB, т.е. \( ∠ ADB = 130^{\circ} \). \( y = 130^{\circ} \).
    • Противоречие.
    • Наиболее вероятный вариант: 44° — дуга AB, 130° — дуга BC.
    • Дуга AB = 44°, \( ∠ ADB = x = 44/2 = 22^{\circ} \).
    • Дуга BC = 130°, \( ∠ BAC = 130/2 = 65^{\circ} \).
    • \( x=22^{\circ} \).
    • Ответ: x=22°.

Ответ: 1) x=85°, y=60°; 2) x=77°, y=92°; 3) x=146°, y=68°; 4) x=63° (при условии, что ABCD - вписанный); 5) x=38°, y=68°; 6) x=34°, y=65°; 7) x=31.5°, y=85.5°; 8) x=31°, y=53°; 9) x=22°.