Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AC, равен градусной мере дуги AC.

Рассмотрим треугольник AOB, где O - центр окружности. OA = OB (радиусы). Координаты O (0,0), A (4,3), B (0,4).

Треугольник AOB не является прямоугольным.

Проще найти угол, опираясь на дугу. Дуга, на которую опирается угол ABC, равна дуге AC.

Найдем угол AOC. Треугольник AOC не является прямоугольным. OA = OC (радиусы).

Найдем координаты точек A, B, C. Предполагая, что центр окружности O находится в точке (0,0):

• A = (4, 3)
• B = (0, 4)
• C = (3, -4)

Дуга AC равна центральному углу AOC. Найдем угол AOC с помощью скалярного произведения векторов OA и OC.

Вектор OA = (4, 3).

Вектор OC = (3, -4).

OA \( \cdot \) OC = |OA| |OC| cos(AOC)

OA \( \cdot \) OC = 4*3 + 3*(-4) = 12 - 12 = 0.

Так как скалярное произведение равно 0, векторы OA и OC перпендикулярны. Значит, угол AOC = 90 градусов.

Угол ABC вписан и опирается на дугу AC. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ} \]

Ответ: 45.