Найдите угол АСВ, если его сторона СА касается окружности в точке А, углы АЕВ и АВЕ равны соответственно 58° и 28° (см. рис.). Ответ дайте в градусах.

Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник АВЕ:

$$\angle BAE = 180^{\circ} - \angle ABE - \angle AEB = 180^{\circ} - 28^{\circ} - 58^{\circ} = 94^{\circ}$$

Угол ВАС является смежным с углом ВАЕ. Сумма смежных углов равна 180°:

$$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle BAE = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ}$$

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними:

$$\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\frown}{AB}$$

Следовательно, дуга АВ равна:

$$\stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 86^{\circ} = 172^{\circ}$$

Угол АЕВ является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$$\angle AEB = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\frown}{AB}$$

Проверим это свойство:

$$\angle AEB = \frac{1}{2} \cdot 172^{\circ} = 86^{\circ}$$

Но у нас по условию угол АЕВ равен 58°, значит, угол АЕВ является внешним углом треугольника ЕВС. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle AEB = \angle EBC + \angle ACB$$ $$\angle ACB = \angle AEB - \angle EBC$$ $$\angle EBC = \angle ABE = 28^{\circ}$$ $$\angle ACB = 58^{\circ} - 28^{\circ} = 30^{\circ}$$

Ответ: 30°