Найдите угол BOC, если ∠AOB = 140° и ∠AOC = 70°; каким углом (острым, прямым или развёрнутым) является искомый угол? а) Луч OM — биссектриса угла AOB, равного 60°. Найдите углы AOP и BOQ, если ∠POQ = 25°, ∠MOP = 20° и ∠MOQ = 45°. б) Луч OP делит угол AOB, равный 100°, на два угла так, что 3∠AOP = 7∠BOP; луч OQ делит угол AOP на два угла так, что 3∠AOQ = 4∠POQ. Найдите угол между биссектрисами углов AOP и BOQ. в) Найдите угол AOM, если ∠AOB = 120° и ∠AOM = 2∠BOM. г) Луч OP — биссектриса угла AOB, луч OQ — биссектриса угла BOP. Найдите угол AOB, если угол между биссектрисами углов AOP и BOQ равен 75°.

Если луч OC расположен внутри ∠AOB, то ∠BOC = 140° − 70° = 70°. Это острый угол.

Без указания расположения луча OC возможна и другая конфигурация: тогда меньший угол BOC равен 150°. Для ответа 70° используется стандартное подразумеваемое расположение OC внутри ∠AOB.

∠AOM = ∠MOB = 60° : 2 = 30°. Из данных ∠MOP = 20°, ∠MOQ = 45° и ∠POQ = 25° следует, что лучи OP и OQ расположены по одну сторону от OM, причём OP находится между OM и OQ.

Если они лежат со стороны луча OB, то ∠AOP = 30° + 20° = 50°, ∠BOQ = 75° − 60° = 15°.

Если они лежат со стороны луча OA, то ∠AOP = 30° − 20° = 10°, ∠BOQ = 30° + 45° = 75°.

Расположение лучей на изображении не задано, поэтому возможны оба ответа: (50°, 15°) или (10°, 75°).

Пусть ∠BOP = y. Тогда ∠AOP = 7y, а 7y + y = 100°. Получаем y = 12.5°, ∠AOP = 87.5°.

Для луча OQ пусть ∠POQ = b и ∠AOQ = a. Из 3a = 4b и a + b = 87.5° получаем b = 37.5°, a = 50°.

Биссектриса ∠AOP образует с OA угол 43.75°. Биссектриса ∠BOQ находится посередине между направлениями OB (100°) и OQ (50°), то есть на 75° от OA. Угол между биссектрисами равен 75° − 43.75° = 31.25°.

Ответ: 31.25°.

Пусть ∠BOM = x. Тогда ∠AOM = 2x, а 2x + x = 120°. Получаем x = 40°.

Ответ: ∠AOM = 80°.

Обозначим ∠AOB = x. Тогда ∠AOP = x : 2. Поскольку OQ — биссектриса ∠BOP, ∠BOQ = x : 4.

Биссектриса ∠AOP направлена под углом x : 4 от OA. Биссектриса ∠BOQ направлена под углом 7x : 8 от OA. Угол между ними равен 7x : 8 − x : 4 = 5x : 8.

По условию 5x : 8 = 75°, откуда x = 120°.

Ответ: ∠AOB = 120°.