Найдите угол между большей стороной и диагональю прямоугольника, если он на 20° меньше угла между диагоналями, лежащего против его большей стороны.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — прямоугольник, \( AB \) — большая сторона, \( AD \) — меньшая. Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \). Угол между большей стороной \( AB \) и диагональю \( AC \) обозначим \( \alpha \). Угол между диагоналями, лежащий против большей стороны \( AB \), — это \( \angle BAC \) и \( \angle ABD \). В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому \( \triangle AOB \) и \( \triangle BOC \) — равнобедренные.

В \( \triangle ABC \), \( \angle BAC = \alpha \). Угол \( \angle BCA \) против большей стороны \( AB \) равен \( \beta \). По условию \( \alpha = \beta - 20^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BAC + \angle BCA = 90^{\circ} \), то есть \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).

Подставим \( \alpha = \beta - 20^{\circ} \) в уравнение \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \):

\( (\beta - 20^{\circ}) + \beta = 90^{\circ} \)

\( 2\beta - 20^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( 2\beta = 110^{\circ} \)

\( \beta = 55^{\circ} \)

Теперь найдём \( \alpha \):

\( \alpha = \beta - 20^{\circ} = 55^{\circ} - 20^{\circ} = 35^{\circ} \)

Угол между большей стороной и диагональю равен \( 35^{\circ} \).

Ответ: 35°.