Найдите угол между прямой АВ и плоскостью 3х-4y+5z=1, если АВ(-1;-2; 2). Ответ дайте в градусах.

• Найдем направляющий вектор прямой \[\vec{s} = (-1, -2, 2).\]
• Найдем нормальный вектор плоскости \[\vec{n} = (3, -4, 5).\]
• Угол \(\varphi\) между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
• Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости: \[\sin(\varphi) = \cos(90^\circ - \varphi) = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|}.\]
• Найдем скалярное произведение векторов: \[\vec{s} \cdot \vec{n} = (-1)(3) + (-2)(-4) + (2)(5) = -3 + 8 + 10 = 15.\]
• Найдем длины векторов: \[|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3,\] \[|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.\]
• Найдем синус угла: \[\sin(\varphi) = \frac{|15|}{3 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{15}{15\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
• Угол, синус которого равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), равен 45 градусам: \[\varphi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ.\]

Ответ: 45