Найдите угол между векторами а(2; 2√3) и б(3√3; 3).

Решение:

Для нахождения угла между двумя векторами используем формулу:

\( \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)

1. Найдём скалярное произведение векторов \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):
   \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})(3) = 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \)
2. Найдём длину вектора \( \vec{a} \):
   \( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \)
3. Найдём длину вектора \( \vec{b} \):
   \( |\vec{b}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{9 \cdot 3 + 9} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6 \)
4. Вычислим косинус угла между векторами:
   \( \cos(\alpha) = \frac{12\sqrt{3}}{4 \cdot 6} = \frac{12\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
5. Найдём сам угол:
   Так как \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( \alpha = 30^{\circ} \) или \( \frac{\pi}{6} \) радиан.

Ответ: 30°.