30. Найдите угол С треугольника АВС, если! 1) АС = 6 см, АВ = = 3√2 см, ∠B = 45°; 2) AB = 4√6 см, ВС = 8 см, ∠A = 45°. Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1) Рассмотрим треугольник ABC, где AC = 6 см, AB = $$3\sqrt{2}$$ см, ∠B = 45°. Найдем угол C.

Воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$.

Подставим известные значения:

$$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$$.

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

$$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$$.

$$\frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$$.

$$\sin C = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{3 \cdot 2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$.

Угол C, синус которого равен 1/2, может быть равен 30° или 150°.

Если C = 30°, то A = 180° - 45° - 30° = 105°.

Если C = 150°, то A = 180° - 45° - 150° = -15°, что невозможно, так как угол не может быть отрицательным.

Следовательно, угол С = 30°.

2) Рассмотрим треугольник ABC, где AB = $$4\sqrt{6}$$ см, BC = 8 см, ∠A = 45°. Найдем угол C.

Воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$$.

Подставим известные значения:

$$\frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin C}$$.

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

$$\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin C}$$.

$$\frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin C}$$.

$$\sin C = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{16} = \frac{4\sqrt{12}}{16} = \frac{4 \cdot 2\sqrt{3}}{16} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Угол C, синус которого равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, может быть равен 60° или 120°.

Если C = 60°, то B = 180° - 45° - 60° = 75°.

Если C = 120°, то B = 180° - 45° - 120° = 15°.

Таким образом, есть два возможных решения.

Ответ: 1) Угол С = 30°, одно решение. 2) Угол С = 60° или 120°, два решения.