Найдите угол (в градусах) между плоскостями x = 0 и x + y = 0.

Решение:

Для нахождения угла между двумя плоскостями, нам нужно найти угол между их нормальными векторами.

Уравнение первой плоскости: \( x = 0 \). Нормальный вектор \( \vec{n_1} \) имеет вид \( \langle 1, 0, 0 \rangle \) (так как коэффициент при \( y \) и \( z \) равен 0).

Уравнение второй плоскости: \( x + y = 0 \). Нормальный вектор \( \vec{n_2} \) имеет вид \( \langle 1, 1, 0 \rangle \) (коэффициенты при \( x \), \( y \) и \( z \)).

Формула для нахождения косинуса угла \( \theta \) между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

Вычислим скалярное произведение:

\[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1 \cdot 1) + (0 \cdot 1) + (0 \cdot 0) = 1 \]

Вычислим длины векторов:

\[ |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \]\[ |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]

Теперь подставим значения в формулу косинуса:

\[ \cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Зная, что \( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \), находим угол \( \theta \):

\[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ} \]

Ответ: 45