Найдите уравнение нормали к f(x) = 2x² - x + 1 в точке x = -2

Решение:

Для нахождения уравнения нормали к функции \( f(x) = 2x^2 - x + 1 \) в точке \( x = -2 \), нам нужно найти производную функции, значение функции в точке, значение производной в точке, а затем использовать формулу уравнения нормали.

1. Находим производную функции:
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - x + 1) = 4x - 1 \)
2. Находим значение функции в точке x = -2:
   \( f(-2) = 2(-2)^2 - (-2) + 1 = 2(4) + 2 + 1 = 8 + 2 + 1 = 11 \)
3. Находим значение производной в точке x = -2:
   \( f'(-2) = 4(-2) - 1 = -8 - 1 = -9 \)
4. Уравнение нормали к графику функции в точке (x₀, y₀) имеет вид:
   \( y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \)
   В нашем случае \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 11 \) и \( f'(x_0) = -9 \).
5. Подставляем значения в формулу нормали:
   \( y - 11 = -\frac{1}{-9}(x - (-2)) \)
   \( y - 11 = \frac{1}{9}(x + 2) \)
   \( y - 11 = \frac{1}{9}x + \frac{2}{9} \)
   \( y = \frac{1}{9}x + \frac{2}{9} + 11 \)
   \( y = \frac{1}{9}x + \frac{2}{9} + \frac{99}{9} \)
   \( y = \frac{1}{9}x + \frac{101}{9} \)
6. Приблизительное значение 101/9:
   \( \frac{101}{9} \approx 11.2222 \)

Следовательно, уравнение нормали:

\( y = \frac{1}{9}x + 11.2222 \)

Среди предложенных вариантов, вариант A наиболее близок к полученному результату.