Найдите уравнение нормали к f(x) = x² - 3x - 4 в точке x = 1

Решение:

Чтобы найти уравнение нормали к функции \( f(x) = x^2 - 3x - 4 \) в точке \( x = 1 \), нам нужно найти производную функции, вычислить значение производной в точке \( x = 1 \) (это будет наклон касательной), найти наклон нормали (он перпендикулярен наклону касательной), вычислить значение функции в точке \( x = 1 \), а затем использовать точечно-угловую формулу уравнения прямой.

1. Найдем производную функции \( f(x) \):
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x - 4) = 2x - 3 \)
2. Вычислим значение производной в точке \( x = 1 \) (наклон касательной \( k_1 \)):
   \( k_1 = f'(1) = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1 \)
3. Найдем наклон нормали \( k_2 \). Нормаль перпендикулярна касательной, поэтому \( k_2 = -\frac{1}{k_1} \):
   \( k_2 = -\frac{1}{-1} = 1 \)
4. Вычислим значение функции в точке \( x = 1 \) (координата \( y \)):
   \( y = f(1) = (1)^2 - 3(1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 \)
5. Теперь у нас есть точка \( (1, -6) \) и наклон нормали \( k_2 = 1 \). Используем точечно-угловую формулу уравнения прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \):
   \( y - (-6) = 1(x - 1) \)
   \( y + 6 = x - 1 \)
   \( y = x - 1 - 6 \)
   \( y = x - 7 \)

Среди предложенных вариантов ответа, вариант B соответствует нашему результату.

Ответ: B) y = 1x - 7