Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (х + 3)2 + (у – 9)2 = 16 при параллельном переносе на вектор а(-5; 4).

Дано:

Окружность \( (x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 16 \). Вектор переноса \( \vec{a}(-5; 4) \).

Найти:

Уравнение образа окружности.

Решение:

Уравнение исходной окружности имеет вид \( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \), где \( (x_0, y_0) \) — координаты центра, \( R \) — радиус.

Из данного уравнения \( (x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 16 \) имеем:

Центр \( O(-3; 9) \), радиус \( R = \sqrt{16} = 4 \).

При параллельном переносе на вектор \( \vec{a}(a_x; a_y) \) координаты центра \( (x_0, y_0) \) переходят в координаты \( (x_0 + a_x; y_0 + a_y) \). Радиус окружности при параллельном переносе не изменяется.

Новый центр \( O'(x'; y') \):

\[ x' = -3 + (-5) = -8 \]

\[ y' = 9 + 4 = 13 \]

Радиус \( R' = R = 4 \).

Уравнение образа окружности имеет вид \( (x - x')^2 + (y - y')^2 = (R')^2 \).

\[ (x - (-8))^2 + (y - 13)^2 = 4^2 \]

\[ (x + 8)^2 + (y - 13)^2 = 16 \]

Ответ: \( (x + 8)^2 + (y - 13)^2 = 16 \).