Найдите уравнение перпендикулярной биссектрисы PQ.

Решение:

1. Перпендикулярная биссектриса — это прямая, которая проходит через середину отрезка PQ и перпендикулярна к нему.
2. Сначала найдём середину отрезка PQ. Координаты середины \( M \) отрезка с концами \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляются по формулам: \[ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
3. Подставим координаты точек P(-3, 8) и Q(9, -2): \[ M_x = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ M_y = \frac{8 + (-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
4. Таким образом, середина отрезка PQ имеет координаты (3, 3).
5. Мы знаем, что угловой коэффициент прямой PQ равен \( k_{PQ} = -\frac{5}{6} \) (из предыдущего задания).
6. Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к PQ, равен обратному числу с противоположным знаком: \[ k_{\perp} = -\frac{1}{k_{PQ}} = -\frac{1}{-5/6} = \frac{6}{5} \]
7. Теперь у нас есть угловой коэффициент \( k_{\perp} = \frac{6}{5} \) и точка \( (3, 3) \), через которую проходит перпендикулярная биссектриса. Используем уравнение прямой \( y - y_0 = k(x - x_0) \): \[ y - 3 = \frac{6}{5}(x - 3) \]
8. Упростим уравнение: \[ y - 3 = \frac{6}{5}x - \frac{18}{5} \]
9. Выразим \( y \): \[ y = \frac{6}{5}x - \frac{18}{5} + 3 \] \[ y = \frac{6}{5}x - \frac{18}{5} + \frac{15}{5} \] \[ y = \frac{6}{5}x - \frac{3}{5} \]
10. Можно также представить уравнение в виде \( Ax + By + C = 0 \). Умножим на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ 5y = 6x - 3 \] \[ 6x - 5y - 3 = 0 \]

Ответ: \( y = \frac{6}{5}x - \frac{3}{5} \) или \( 6x - 5y - 3 = 0 \).