Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения sin6x + √3 cos6x = 0 на промежутке (-45°, 0°)

Решение:

Дано уравнение: \( \sin 6x + \sqrt{3} \cos 6x = 0 \)

Перепишем уравнение, разделив обе части на \( \cos 6x \) (при условии, что \( \cos 6x \neq 0 \)):

\( \frac{\sin 6x}{\cos 6x} + \sqrt{3} = 0 \)

\( \operatorname{tg} 6x + \sqrt{3} = 0 \)

\( \operatorname{tg} 6x = -\sqrt{3} \)

Общее решение уравнения \( \operatorname{tg} \alpha = a \) имеет вид \( \alpha = \operatorname{arctg} a + \pi n \), где \( n \) — целое число.

В нашем случае \( \alpha = 6x \) и \( a = -\sqrt{3} \). Значит:

\( 6x = \operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) + \pi n \)

\( 6x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \)

Разделим обе части на 6:

\( x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6} \)

Теперь переведём промежуток \( (-45°, 0°) \) в радианы:

\( -45° = -45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{4} \)

Значит, промежуток в радианах: \( (-\frac{\pi}{4}, 0) \).

Нам нужно найти значения \( n \), при которых \( x \) попадает в этот промежуток:

\( -\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{6} < 0 \)

Разделим все части неравенства на \( \pi \):

\( -\frac{1}{4} < -\frac{1}{18} + \frac{n}{6} < 0 \)

Прибавим \( \frac{1}{18} \) ко всем частям:

\( -\frac{1}{4} + \frac{1}{18} < \frac{n}{6} < \frac{1}{18} \)

\( -\frac{9}{36} + \frac{2}{36} < \frac{n}{6} < \frac{2}{36} \)

\( -\frac{7}{36} < \frac{n}{6} < \frac{2}{36} \)

Умножим все части на 6:

\( -\frac{7 \cdot 6}{36} < n < \frac{2 \cdot 6}{36} \)

\( -\frac{42}{36} < n < \frac{12}{36} \)

\( -1.16... < n < 0.33... \)

Целым числом, удовлетворяющим этому условию, является \( n = -1 \).

Подставим \( n = -1 \) в формулу для \( x \):

\( x = -\frac{\pi}{18} + \frac{\pi (-1)}{6} = -\frac{\pi}{18} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{18} - \frac{3\pi}{18} = -\frac{4\pi}{18} = -\frac{2\pi}{9} \)

Теперь проверим, не было ли у нас деления на ноль, то есть \( \cos 6x = 0 \). Если \( \cos 6x = 0 \), то \( 6x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6} \). На интервале \( (-\frac{\pi}{4}, 0) \) таких значений нет.

Итак, единственный корень на заданном промежутке — \( x = -\frac{2\pi}{9} \).

Переведём корень обратно в градусы:

\( -\frac{2\pi}{9} = -\frac{2 \cdot 180°}{9} = -2 \cdot 20° = -40° \)

Это значение находится в промежутке \( (-45°, 0°) \).

Так как корень один, то сумма различных корней равна самому этому корню.

Ответ: -40°.