Найдите в явном виде целое число, записанное выражением \(45\left(\frac{1}{3\cdot6}+\frac{1}{6\cdot9}+\frac{1}{9\cdot12}+\frac{1}{12\cdot15}\right)\).

Используем тождество \(\frac{1}{a(a+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+3}\right)\):

\[\frac{1}{3\cdot6}+\frac{1}{6\cdot9}+\frac{1}{9\cdot12}+\frac{1}{12\cdot15}=\frac13\left(\frac13-\frac16+\frac16-\frac19+\frac19-\frac1{12}+\frac1{12}-\frac1{15}\right).\]

Сокращая промежуточные слагаемые, получаем:

\[\frac13\left(\frac13-\frac1{15}\right)=\frac13\cdot\frac{4}{15}=\frac{4}{45}.\]

Следовательно, \[45\cdot\frac{4}{45}=4.\]

Ответ: 4.