Найдите \(\vec{a} \times \vec{b}\): \(\vec{a} = (4, 7, 1),\) \(\vec{b} = (6, -2, 3)\)

Решение:

Для нахождения векторного произведения \(\vec{a} \times \vec{b}\) используем формулу:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]

где \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) — единичные векторы, а \(a_1, a_2, a_3\) и \(b_1, b_2, b_3\) — соответствующие компоненты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Подставляем значения векторов \(\vec{a} = (4, 7, 1)\) и \(\vec{b} = (6, -2, 3)\):

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 7 & 1 \\ 6 & -2 & 3 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определитель:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определители второго порядка:

\[ \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (7 \cdot 3) - (1 \cdot -2) = 21 - (-2) = 23 \]


\[ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) - (1 \cdot 6) = 12 - 6 = 6 \]


\[ \begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = (4 \cdot -2) - (7 \cdot 6) = -8 - 42 = -50 \]

Складываем полученные значения:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = 23\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + (-50)\mathbf{k} \]

Таким образом, векторное произведение равно \((23, -6, -50)\).

Ответ: (23, -6, -50)