Найдите величину угла DOE по рисунку: AB — прямая, OC перпендикулярен AB, угол EOB равен 30°.

Так как лучи OA и OB образуют развернутый угол, а луч OC перпендикулярен AB, то \(\angle COB=90^\circ\). По рисунку \(\angle EOB=30^\circ\), поэтому \(\angle COE=90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

Верхний развернутый угол разделён на углы \(AOD\), \(DOC\), \(COE\) и \(EOB\). На рисунке дуги показывают, что \(\angle AOD=\angle DOC\). Следовательно, \(2\angle DOC+60^\circ+30^\circ=180^\circ\), откуда \(2\angle DOC=90^\circ\) и \(\angle DOC=45^\circ\).

Тогда \(\angle DOE=\angle DOC+\angle COE=45^\circ+60^\circ=105^\circ\).

Ответ: \(105^\circ\).