Найдите вероятность события, противоположного событию: a) «орёл не выпал ни разу»; б) «орёл выпал более одного раза»; в) «решка выпала более двух раз»; г) «орёл выпал неизвестно сколько раз, но не 2 раза». д) есть ли среди указанных событий противоположные?

Краткое пояснение:

Решение:

Для начала вспомним, что такое противоположное событие. Два события называются противоположными, если в данном опыте происходит одно и только одно из них. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Рассмотрим таблицу:

a) «орёл не выпал ни разу»

Вероятность, что орёл не выпал ни разу, равна 1/16. Противоположное событие — «орёл выпал хотя бы раз».

Вероятность противоположного события:

\[1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\]

б) «орёл выпал более одного раза»

Событие «орёл выпал более одного раза» включает в себя события «орёл выпал 2 раза», «орёл выпал 3 раза» и «орёл выпал 4 раза». Вероятность этого события равна:

\[\frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}\]

Противоположное событие — «орёл не выпадал совсем или выпадал один раз».

Вероятность противоположного события:

\[1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}\]

в) «решка выпала более двух раз»

Если монету бросали 4 раза, то «решка выпала более двух раз» означает, что решка выпала 3 или 4 раза, что эквивалентно «орёл выпал 1 или 0 раз».

Вероятность этого события:

\[\frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}\]

Противоположное событие — «решка выпадала не более двух раз» (то есть 0, 1 или 2 раза), что эквивалентно «орёл выпал 4, 3 или 2 раза».

Вероятность противоположного события:

\[1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}\]

г) «орёл выпал неизвестно сколько раз, но не 2 раза»

Это означает, что орёл выпал 0, 1, 3 или 4 раза. Вероятность этого события:

\[\frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\]

Противоположное событие — «орёл выпал 2 раза».

Вероятность противоположного события:

\[1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}\]

д) есть ли среди указанных событий противоположные?

Событие «орёл не выпал ни разу» и событие «орёл выпал хотя бы раз» являются противоположными. Также противоположными являются события «орёл выпал 2 раза» и «орёл выпал неизвестно сколько раз, но не 2 раза».

Ответ:

a) 15/16

б) 5/16

в) 11/16

г) 3/8

д) да, есть.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что сумма вероятностей события и противоположного ему равна 1.

Читерский прием: Если знаешь вероятность события, то вероятность противоположного события всегда можно найти вычитанием из единицы!