Найдите вероятность того, что команда остановит эксперименты. Ответ округлите до двух знаков после запятой.

Решение:

В данной задаче число найденных дефектов за один прогон следует распределению Пуассона с параметром \(\lambda = 1\).

Среднее число найденных дефектов за \(n=10000\) прогонов вычисляется как \(\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_{10000}}{10000}\).

Команда остановит эксперименты, если среднее значение отклонится от ожидаемого значения больше чем на \(\varepsilon = 0.01\).

Ожидаемое значение числа дефектов за один прогон равно \(\lambda = 1\).

По центральной предельной теореме, сумма независимых одинаково распределённых случайных величин (при \(n\) достаточно большом) приближается к нормальному распределению.

Среднее \(\overline{X}\) будет иметь приблизительно нормальное распределение со средним \(E(\overline{X}) = E(X) = \lambda = 1\) и дисперсией \(D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} = \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{10000}\).

Стандартное отклонение \(\sigma_{\overline{X}} = \sqrt{\frac{\lambda}{n}} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{1}{100} = 0.01\).

Условие остановки экспериментов: \(\left| \overline{X} - E(\overline{X}) \right| > \varepsilon \) , то есть \(\left| \overline{X} - 1 \right| > 0.01\).

Это означает, что \(\overline{X} > 1 + 0.01 = 1.01\) или \(\overline{X} < 1 - 0.01 = 0.99\).

Для расчёта вероятности перейдём к стандартизированной нормальной величине \( Z = \frac{\overline{X} - E(\overline{X})}{\sigma_{\overline{X}}} = \frac{\overline{X} - 1}{0.01} \).

Тогда условие \(\overline{X} > 1.01\) эквивалентно \( Z > \frac{1.01 - 1}{0.01} = \frac{0.01}{0.01} = 1 \).

А условие \(\overline{X} < 0.99\) эквивалентно \( Z < \frac{0.99 - 1}{0.01} = \frac{-0.01}{0.01} = -1 \).

Вероятность, что команда остановит эксперименты, равна \( P(|Z| > 1) = P(Z > 1) + P(Z < -1) \).

Используя таблицу стандартного нормального распределения (или свойства симметрии), \( P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) \) и \( P(Z < -1) = P(Z > 1) \).

Значение \( P(Z \le 1) \) примерно равно \( 0.8413 \).

Тогда \( P(Z > 1) \) примерно равно \( 1 - 0.8413 = 0.1587 \).

Следовательно, \( P(|Z| > 1) = 0.1587 + 0.1587 = 0.3174 \).

Округляя до двух знаков после запятой, получаем \( 0.32 \).

Ответ: 0.32