5. Найдите вес значения a при пот, уравнение ax² +2x+3=0 1) имеет два корние 3) 2) имеет корней 3) имеет врух корень.

Решение

Давай разберем эту задачу по порядку. Нам нужно найти все значения параметра \( a \), при которых уравнение \( ax^2 + 2x + 3 = 0 \) имеет определенное количество корней.

1) Уравнение имеет два корня

Чтобы квадратное уравнение имело два корня, необходимо, чтобы выполнялись два условия:

1. \( a
   eq 0 \) (иначе уравнение станет линейным).
2. Дискриминант \( D > 0 \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 4 - 12a \]

Чтобы \( D > 0 \), необходимо, чтобы:

\[ 4 - 12a > 0 \] \[ 12a < 4 \] \[ a < \frac{4}{12} \] \[ a < \frac{1}{3} \]

С учетом условия \( a
eq 0 \), получаем:

\[ a \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{3}) \]

2) Уравнение не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если \( D < 0 \). Следовательно:

\[ 4 - 12a < 0 \] \[ 12a > 4 \] \[ a > \frac{1}{3} \]

Итак, уравнение не имеет корней, если:

\[ a \in (\frac{1}{3}, +\infty) \]

Также рассмотрим случай, когда \( a = 0 \). Тогда уравнение принимает вид \( 2x + 3 = 0 \), что является линейным уравнением и имеет один корень \( x = -\frac{3}{2} \). Таким образом, при \( a = 0 \) уравнение имеет один корень, а не ноль.

3) Уравнение имеет один корень

Уравнение имеет один корень, если либо \( a = 0 \) (линейное уравнение), либо \( D = 0 \) (квадратное уравнение с одним корнем).

Мы уже рассмотрели случай \( a = 0 \), когда уравнение имеет один корень.

Теперь рассмотрим случай \( D = 0 \):

\[ 4 - 12a = 0 \] \[ 12a = 4 \] \[ a = \frac{1}{3} \]

Таким образом, уравнение имеет один корень, если \( a = 0 \) или \( a = \frac{1}{3} \).

Ответ:

• Два корня: \( a \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{3}) \)
• Нет корней: \( a \in (\frac{1}{3}, +\infty) \)
• Один корень: \( a = 0 \) или \( a = \frac{1}{3} \)

Ты отлично справляешься! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!