Найдите все натуральные n, для которых n³ – 11 делится на n – 1.

Решение:

Чтобы условие задачи выполнялось, выражение \( n^3 - 11 \) должно делиться на \( n - 1 \) без остатка. Воспользуемся делением многочленов столбиком или разложим числитель.

Разложим \( n^3 \) по формуле разности кубов, но сначала представим \( n^3 \) через \( n-1 \):

\( n^3 = n^3 - 1 + 1 = (n-1)(n^2+n+1) + 1 \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( n^3 - 11 = (n-1)(n^2+n+1) + 1 - 11 = (n-1)(n^2+n+1) - 10 \)

По условию, \( n^3 - 11 \) должно делиться на \( n - 1 \). Это означает, что \( (n-1)(n^2+n+1) - 10 \) должно делиться на \( n - 1 \).

Так как \( (n-1)(n^2+n+1) \) делится на \( n-1 \) без остатка, то для выполнения условия необходимо, чтобы \( -10 \) делилось на \( n-1 \).

Значит, \( n-1 \) должно быть делителем числа \( -10 \). Делителями числа \( -10 \) являются: \( \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \).

Поскольку \( n \) — натуральное число, то \( n \ge 1 \). Следовательно, \( n-1 \) может принимать следующие значения:

• \( n-1 = 1 \rightarrow n=2 \)
• \( n-1 = 2 \rightarrow n=3 \)
• \( n-1 = 5 \rightarrow n=6 \)
• \( n-1 = 10 \rightarrow n=11 \)

Проверим эти значения:

• Если \( n=2 \), то \( 2^3 - 11 = 8 - 11 = -3 \), а \( 2-1=1 \). \( -3 \) делится на \( 1 \).
• Если \( n=3 \), то \( 3^3 - 11 = 27 - 11 = 16 \), а \( 3-1=2 \). \( 16 \) делится на \( 2 \).
• Если \( n=6 \), то \( 6^3 - 11 = 216 - 11 = 205 \), а \( 6-1=5 \). \( 205 \) делится на \( 5 \) (205 / 5 = 41).
• Если \( n=11 \), то \( 11^3 - 11 = 1331 - 11 = 1320 \), а \( 11-1=10 \). \( 1320 \) делится на \( 10 \).

Значит, все найденные значения \( n \) подходят.

Ответ: n = 2, 3, 6, 11.