Найдите все натуральные значения x и y, при которых верно равенство: x² − 2xy − x + 2y = 1.

Сгруппируем слагаемые:

\(x^2-2xy-x+2y=(x-1)(x-2y)\).

Тогда требуется, чтобы \((x-1)(x-2y)=1\). Поскольку оба множителя — целые числа, их произведение равно 1 только в случаях, когда они оба равны 1 или оба равны −1.

1. Если \(x-1=1\), то \(x=2\). Из \(x-2y=1\) получаем \(2-2y=1\), откуда \(y=\frac12\), что не является натуральным числом.
2. Если \(x-1=-1\), то \(x=0\). Но тогда \(x-2y=-1\) даёт \(y=\frac12\), что также не является натуральным числом.

Ответ: натуральных решений нет.