Найдите все неизвестные углы треугольника. 1 M E 2 M 3 R 4 C B 5 R K 70° 100% K T K M A M K T L T L N 6 K N 7 K 8 M 9 K 10 C 40° 120° 50° T S 70° R M 35° M R A E MA B C 120° B 140° F 60° 35° 110° P ∠BOC-? O

1. В треугольнике MKT угол KMT = 70°, угол MKT = 40°. Найдем угол MTK.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle KMT + \angle MKT + \angle MTK = 180^\circ\]

\[70^\circ + 40^\circ + \angle MTK = 180^\circ\]

\[\angle MTK = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ\]

Ответ: \(\angle MTK = 70^\circ\)

2. В треугольнике MKL угол EMK = 100°, угол MKL = 120°. Найдем угол MLK.

Угол EMK и угол KMK - смежные, значит, их сумма равна 180°:

\[\angle KMK = 180^\circ - \angle EMK = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\]

Угол MKL и угол LKT - смежные, значит, их сумма равна 180°:

\[\angle LKT = 180^\circ - \angle MKL = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle KMK + \angle LKT + \angle MLK = 180^\circ\]

\[80^\circ + 60^\circ + \angle MLK = 180^\circ\]

\[\angle MLK = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ\]

Ответ: \(\angle KMK = 80^\circ, \angle LKT = 60^\circ, \angle MLK = 40^\circ\)

3. В треугольнике RKT угол TRK = 50°, угол RTK = 80°. Найдем угол RKT.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle TRK + \angle RTK + \angle RKT = 180^\circ\]

\[50^\circ + 80^\circ + \angle RKT = 180^\circ\]

\[\angle RKT = 180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ\]

Ответ: \(\angle RKT = 50^\circ\)

4. В треугольнике BNA угол CBN = 90°, BN = NA, CK = KA. Необходимо найти неизвестные углы.

Т.к. BN = NA, то треугольник BNA - равнобедренный, значит углы NBA = NAB.

Сумма углов треугольника BNA равна 180°:

\[\angle BNA + \angle NBA + \angle NAB = 180^\circ\]

\[90^\circ + \angle NBA + \angle NAB = 180^\circ\]

\[\angle NBA = \angle NAB = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ\]

В треугольнике KCA: CK = KA, следовательно треугольник равнобедренный, значит углы C = A.

\[\angle C = \angle A\]

По условию задачи известно, что \(\angle CKA = 90^\circ\), поэтому

\[\angle C = \angle A = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ\]

Ответ: \(\angle NBA = \angle NAB = 45^\circ, \angle C = \angle A = 45^\circ\)

5. В треугольнике MRK угол RMF = 140°, угол RKM = 90°. Найдем угол MRK.

Угол RMF и угол RMK - смежные, значит, их сумма равна 180°:

\[\angle RMK = 180^\circ - \angle RMF = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\]

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle RMK + \angle RKM + \angle MRK = 180^\circ\]

\[40^\circ + 90^\circ + \angle MRK = 180^\circ\]

\[\angle MRK = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ\]

Ответ: \(\angle RMK = 40^\circ, \angle MRK = 50^\circ\)

6. В треугольнике KNS угол NKS = 29°, угол KSN = 55°. Найдем угол KNS.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle NKS + \angle KSN + \angle KNS = 180^\circ\]

\[29^\circ + 55^\circ + \angle KNS = 180^\circ\]

\[\angle KNS = 180^\circ - 29^\circ - 55^\circ = 96^\circ\]

Ответ: \(\angle KNS = 96^\circ\)

7. В треугольнике KRM угол KRM = 70°, угол KMP = 35°. Найдем угол MKR.

Т.к. угол KRM = 70°, то угол RKM = 90°, значит угол RMP = 90°.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle KRM + \angle RMP + \angle MKR = 180^\circ\]

\[70^\circ + 35^\circ + \angle MKR = 180^\circ\]

\[\angle MKR = 180^\circ - 70^\circ - 35^\circ = 75^\circ\]

Ответ: \(\angle RKM = 90^\circ, \angle MKR = 75^\circ\)

8. В треугольнике AMC угол MAC = 60°, угол MCA = 35°. Найдем угол AMC.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle MAC + \angle MCA + \angle AMC = 180^\circ\]

\[60^\circ + 35^\circ + \angle AMC = 180^\circ\]

\[\angle AMC = 180^\circ - 60^\circ - 35^\circ = 85^\circ\]

Ответ: \(\angle AMC = 85^\circ\)

9. В треугольнике KRL угол LKR = 120°, угол RKL = 60°. Найдем угол KRL.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[\angle LKR + \angle RKL + \angle KRL = 180^\circ\]

\[120^\circ + 60^\circ + \angle KRL = 180^\circ\]

\[\angle KRL = 180^\circ - 120^\circ - 60^\circ = 0^\circ\]

Такого треугольника не существует, т.к. один из углов равен 0°.

10. В четырехугольнике MAOB угол MAO = 50°, угол ABO = 110°. Найдем угол BOC.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

Т.к. CA и CB - касательные к окружности, то углы CAO и CBO равны 90°.

\[\angle CAO = \angle CBO = 90^\circ\]

\[\angle CAO + \angle CBO + \angle MAO + \angle ABO = 360^\circ\]

\[90^\circ + 90^\circ + \angle MAO + \angle ABO = 360^\circ\]

\[180^\circ + \angle MAO + \angle ABO = 360^\circ\]

\[\angle MAO + \angle ABO = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ\]

В треугольнике AOB:

\[\angle AOB = 180^\circ - (50^\circ + 110^\circ) = 20^\circ\]

Угол AOB и угол BOC - смежные, значит, их сумма равна 180°:

\[\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ\]

Ответ: \(\angle BOC = 160^\circ\)