1.Найдите все первообразные функции: a) f(x) = x² - 3x² + 7; 6) f(x) =3sinx - 2 cos x; B) f(x) =sin(2x - 1) + 2; г) f(x) =√7x+1

Привет! Разбираемся, как найти первообразные для каждой из этих функций. Смотри, это как антипроизводная, то есть функция, производная которой даст нам исходную функцию.

а) f(x) = x⁴ - 3x² + 7

Логика такая: увеличиваем степень каждого члена на 1 и делим на новую степень, а для константы просто добавляем x.

Первообразная F(x) будет выглядеть так:

F(x) = \(\frac{x^5}{5} - x^3 + 7x + C\)

б) f(x) = 3sin(x) - 2cos(x)

Вспоминаем, что производная синуса — это косинус, а производная косинуса — минус синус. Значит, чтобы получить синус, нужно взять минус косинус, а чтобы получить косинус, берем синус.

F(x) = \(-3cos(x) - 2sin(x) + C\)

в) f(x) = sin(2x - 1) + 2

Тут сложнее, потому что есть функция внутри синуса. Но не переживай, мы справимся!

F(x) = \(-\frac{1}{2}cos(2x - 1) + 2x + C\)

Почему так? Потому что производная \(cos(2x - 1)\) будет \(-sin(2x - 1) \cdot 2\), поэтому делим на 2, чтобы компенсировать.

г) f(x) = √(7x + 1)

Это можно переписать как \((7x + 1)^{\frac{1}{2}}\. Используем правило интегрирования сложной функции.

F(x) = \(\frac{2}{21}(7x + 1)^{\frac{3}{2}} + C\)

Проверка: если взять производную от \(\frac{2}{21}(7x + 1)^{\frac{3}{2}}\, то получится \(\sqrt{7x + 1}\).

В каждом случае C – это константа, которая может быть любым числом. Она появляется, потому что производная константы всегда равна нулю.