Найдите все положительные значения а, при каждом из которых корни уравнения 5a^2x - 2 * 4^x + 9 * (2a)^x = 0 принадлежат отрезку [-3; 1].

Решение:

Запишем уравнение: \( 5a^{2x} - 2 · 4^x + 9(2a)^x = 0 \)

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\( 5(a^2)^x - 2 · (2^2)^x + 9(2a)^x = 0 \)

\( 5(a^x)^2 - 2 · (2^x)^2 + 9(2a)^x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( (2^x)^2 = 4^x \) (так как \( 4^x \) всегда положительно):

\( 5 · \frac{(a^x)^2}{(2^x)^2} - 2 + 9 · \frac{(2a)^x}{(2^x)^2} = 0 \)

\( 5 · (\frac{a^2}{4})^x - 2 + 9 · \frac{2^x · a^x}{(2^x)^2} = 0 \)

\( 5 · (\frac{a^2}{4})^x - 2 + 9 · \frac{a^x}{2^x} = 0 \)

\( 5 · (\frac{a^2}{4})^x - 2 + 9 · (\frac{a}{2})^x = 0 \)

Введём замену переменной: \( t = (\frac{a}{2})^x \). Тогда \( (\frac{a^2}{4})^x = ((\frac{a}{2})^2)^x = ((\frac{a}{2})^x)^2 = t^2 \).

Уравнение примет вид:

\( 5t^2 + 9t - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( t \):

\( D = 9^2 - 4 · 5 · (-2) = 81 + 40 = 121 \)

\( √{D} = 11 \)

\( t_1 = \frac{-9 + 11}{2 · 5} = \frac{2}{10} = 0.2 \)

\( t_2 = \frac{-9 - 11}{2 · 5} = \frac{-20}{10} = -2 \)

Вернёмся к замене \( t = (\frac{a}{2})^x \).

Так как \( a > 0 \), то \( (\frac{a}{2})^x > 0 \). Следовательно, \( t = -2 \) не подходит.

Рассмотрим \( t = 0.2 \):

\( (\frac{a}{2})^x = 0.2 = \frac{1}{5} \)

Нам дано, что корни уравнения принадлежат отрезку \( [-3; 1] \). Это означает, что при \( x = -3 \) и \( x = 1 \) должно выполняться равенство \( (\frac{a}{2})^x = 0.2 \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x = 1 \) является корнем.

\( (\frac{a}{2})^1 = 0.2 \)

\( \frac{a}{2} = \frac{1}{5} \)

\( a = \frac{2}{5} \)

Проверим, если \( a = \frac{2}{5} \), то \( (\frac{a}{2})^x = (\frac{1}{5})^x \).

Уравнение: \( (\frac{1}{5})^x = \frac{1}{5} \). Корень \( x = 1 \).

Теперь проверим, принадлежит ли \( x = -3 \) отрезку \( [-3; 1] \) и удовлетворяет ли он уравнению. Если \( a = \frac{2}{5} \), то \( (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125 ≠ \frac{1}{5} \). Значит, \( x = -3 \) не является корнем, а \( x = 1 \) является единственным корнем, который принадлежит отрезку.

Случай 2: \( x = -3 \) является корнем.

\( (\frac{a}{2})^{-3} = 0.2 = \frac{1}{5} \)

\( (\frac{2}{a})^3 = \frac{1}{5} \)

\( \frac{8}{a^3} = \frac{1}{5} \)

\( a^3 = 40 \)

\( a = ∛{40} = 2∛{5} \)

Проверим, если \( a = 2∛{5} \), то \( \frac{a}{2} = ∛{5} \). Тогда \( (∛{5})^x = \frac{1}{5} \).

\( (5^{1/3})^x = 5^{-1} \)

\( 5^{x/3} = 5^{-1} \)

\( \frac{x}{3} = -1 \)

\( x = -3 \).

Теперь проверим, принадлежит ли \( x = 1 \) отрезку \( [-3; 1] \) и удовлетворяет ли он уравнению. Если \( a = 2∛{5} \), то \( (∛{5})^1 = ∛{5} ≠ \frac{1}{5} \). Значит, \( x = -3 \) является единственным корнем, который принадлежит отрезку.

Случай 3: Оба \( x = -3 \) и \( x = 1 \) являются корнями.

Это возможно только если \( (\frac{a}{2})^x = 0.2 \) для всех \( x \) в отрезке \( [-3; 1] \), что невозможно, так как \( (\frac{a}{2})^x \) — это показательная функция, которая принимает каждое значение только один раз.

Случай 4: Корень уравнения \( (\frac{a}{2})^x = 0.2 \) находится внутри отрезка \( [-3; 1] \).

Пусть \( f(x) = (\frac{a}{2})^x \). Нам нужно, чтобы \( f(x) = 0.2 \) имело решение \( x_0 ∈ [-3; 1] \).

Если \( \frac{a}{2} > 1 \) (т.е. \( a > 2 \)), то \( f(x) \) — возрастающая функция. Тогда для того, чтобы \( x_0 ∈ [-3; 1] \), нужно, чтобы \( f(-3) ≤ 0.2 ≤ f(1) \).

\( (\frac{a}{2})^{-3} ≤ 0.2 ≤ (\frac{a}{2})^1 \)

\( (\frac{2}{a})^3 ≤ \frac{1}{5} ≤ \frac{a}{2} \)

Из \( \frac{1}{5} ≤ \frac{a}{2} \) получаем \( a ≥ \frac{2}{5} \). Так как мы рассматриваем \( a > 2 \), это условие выполняется.

Из \( (\frac{2}{a})^3 ≤ \frac{1}{5} \) получаем \( \frac{8}{a^3} ≤ \frac{1}{5} \) \( ⇒ a^3 ≥ 40 \) \( ⇒ a ≥ ∛{40} \). \( ∛{40} ≈ 3.42 \).

Таким образом, при \( a ≥ ∛{40} \) корень \( x_0 \) будет лежать на отрезке \( [-3; 1] \).

Если \( 0 < \frac{a}{2} < 1 \) (т.е. \( 0 < a < 2 \)), то \( f(x) \) — убывающая функция. Тогда для того, чтобы \( x_0 ∈ [-3; 1] \), нужно, чтобы \( f(1) ≤ 0.2 ≤ f(-3) \).

\( (\frac{a}{2})^1 ≤ 0.2 ≤ (\frac{a}{2})^{-3} \)

\( \frac{a}{2} ≤ \frac{1}{5} ≤ (\frac{2}{a})^3 \)

Из \( \frac{a}{2} ≤ \frac{1}{5} \) получаем \( a ≤ \frac{2}{5} \). Так как мы рассматриваем \( 0 < a < 2 \), получаем \( 0 < a ≤ \frac{2}{5} \).

Из \( \frac{1}{5} ≤ (\frac{2}{a})^3 \) получаем \( \frac{1}{5} ≤ \frac{8}{a^3} \) \( ⇒ a^3 ≥ 40 \) \( ⇒ a ≥ ∛{40} \). Это противоречит условию \( a < 2 \).

Таким образом, мы имеем два случая, когда один из концов отрезка является корнем, и случай, когда корень лежит внутри отрезка.

Объединяем все условия:

1. \( a = \frac{2}{5} \) (корень \( x=1 \))

2. \( a = ∛{40} = 2∛{5} \) (корень \( x=-3 \))

3. \( a ≥ ∛{40} \) (корень внутри отрезка \( [-3; 1] \))

Объединяя эти случаи, получаем, что \( a \) должно быть положительным.

Из условия \( (\frac{a}{2})^x = \frac{1}{5} \) следует, что \( \frac{a}{2} = (\frac{1}{5})^{1/x} \).

Если \( x = 1 \), то \( \frac{a}{2} = \frac{1}{5} ⇒ a = \frac{2}{5} \).

Если \( x = -3 \), то \( \frac{a}{2} = (\frac{1}{5})^{-1/3} = 5^{1/3} ⇒ a = 2 ∛{5} \).

Если корень \( x_0 \) лежит в \( (-3, 1) \), то \( a \) должно быть в диапазоне, где \( (\frac{a}{2})^{1} ≤ 0.2 ≤ (\frac{a}{2})^{-3} \) (для \( 0 < \frac{a}{2} < 1 \)) или \( (\frac{a}{2})^{-3} ≤ 0.2 ≤ (\frac{a}{2})^{1} \) (для \( \frac{a}{2} > 1 \)).

Первый случай \( 0 < a < 2 \) дал противоречие.

Второй случай \( a > 2 \): \( (\frac{2}{a})^3 ≤ \frac{1}{5} ≤ \frac{a}{2} \).

\( \frac{8}{a^3} ≤ \frac{1}{5} ⇒ a^3 ≥ 40 ⇒ a ≥ ∛{40} \).

\( \frac{1}{5} ≤ \frac{a}{2} ⇒ a ≥ \frac{2}{5} \).

Объединяя \( a > 2 \) и \( a ≥ ∛{40} \), получаем \( a ≥ ∛{40} \).

Таким образом, положительные значения \( a \) — это \( a = \frac{2}{5} \) и \( a ≥ ∛{40} \).

Ответ: \( a = \frac{2}{5} \) или \( a ≥ ∛{40} \).