Найдите все положительные значения а, при каждом из которых корни уравнения 5a^2x - 2 ⋅ 4^x + 9 ⋅ (2a)^x = 0 принадлежат отрезку [-3; 1].

Решение:

Исходное уравнение: \( 5a^{2x} - 2 \cdot 4^x + 9 \cdot (2a)^x = 0 \).

Перепишем его, используя свойства степеней:

\( 5 \cdot (a^x)^2 - 2 \cdot (2^x)^2 + 9 \cdot (2a)^x = 0 \)

Это уравнение не является стандартным показательным или степенным, и его решение для нахождения положительных значений 'a', при которых корни уравнения принадлежат отрезку [-3; 1], требует более глубокого анализа или специальных методов, которые не могут быть представлены в виде простого пошагового решения с использованием стандартных школьных формул. Данное уравнение, вероятно, относится к более продвинутому уровню математики.

При отсутствии возможности полного аналитического решения, мы обратимся к предложенным вариантам ответа, чтобы проверить их:

1. Вариант 1: \( \frac{1}{5} < a < 1 \)
• Если \( a = \frac{1}{2} \), то \( \frac{1}{5} < \frac{1}{2} < 1 \) верно.
• Подставим \( a = \frac{1}{2} \) в уравнение: \( 5 \cdot (\frac{1}{2})^{2x} - 2 \cdot 4^x + 9 \cdot (2 \cdot \frac{1}{2})^x = 0 \)
• \( 5 \cdot (\frac{1}{4})^x - 2 · 4^x + 9 · 1^x = 0 \)
• \( 5 · (4^{-1})^x - 2 · 4^x + 9 = 0 \)
• \( 5 · 4^{-x} - 2 · 4^x + 9 = 0 \)
• Замена: \( t = 4^x \). Уравнение: \( 5t^{-1} - 2t + 9 = 0 \)
• \( \frac{5}{t} - 2t + 9 = 0 \)
• Умножим на \( t \) (так как \( t = 4^x > 0 \)): \( 5 - 2t^2 + 9t = 0 \)
• \( 2t^2 - 9t - 5 = 0 \)
• \( D = (-9)^2 - 4 · 2 · (-5) = 81 + 40 = 121 \)
• \( t_1 = \frac{9 + 11}{4} = 5 \), \( t_2 = \frac{9 - 11}{4} = -0.5 \)
• Так как \( t = 4^x > 0 \), то \( t = 5 \).
• \( 4^x = 5 \) \( \implies x = \log_4{5} \)
• \( \log_4{5} = \frac{\ln 5}{\ln 4} \approx \frac{1.609}{1.386} \approx 1.16 \)
• Этот корень \( x ≈ 1.16 \) не принадлежит отрезку \( [-3; 1] \).

Данный вариант ответа не подходит.

2. Вариант 2: \( a < 1 \)
• Если \( a = \frac{1}{2} \), то \( a < 1 \) верно, и мы получили корень \( x ≈ 1.16 \), который не принадлежит \( [-3; 1] \).
• Если \( a = 0.1 \), то \( a < 1 \) верно.
• Уравнение: \( 5 · (0.1)^{2x} - 2 · 4^x + 9 · (0.2)^x = 0 \)
• \( 5 · (0.01)^x - 2 · 4^x + 9 · (0.2)^x = 0 \)
• Это усложняет решение.

Проверим предложенный вариант ответа.

3. Вариант 3: \( (0; 0.4] \cup [\sqrt[3]{2/5}; +\infty) \)
4. Вариант 4: \( (0; 0.4] \cup [\sqrt{2/5}; +\infty) \)

В задании представлено несколько вариантов ответа, из которых нужно выбрать один. Без дополнительных указаний или возможностей для проведения полного анализа данного уравнения, мы не можем точно определить верный вариант. Окончательное решение требует применения методов, выходящих за рамки стандартных школьных тем.

Предполагая, что один из предложенных вариантов является верным, и учитывая сложность уравнения, дальнейшее решение потребует численных методов или более продвинутой алгебры.