Найдите все решения неравенства \frac{2x^2}{9} \leqslant \frac{x+3}{3}, принадлежащие промежутку [-2; 2]. В ответ укажите количество целых чисел, удовлетворяющих условию.

Прежде чем приступить к решению, нужно вспомнить основные шаги решения квадратных неравенств:

1. Привести неравенство к виду $$ax^2 + bx + c \leqslant 0$$.
2. Найти дискриминант и корни квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$.
3. Отметить корни на числовой прямой.
4. Определить знаки выражения $$ax^2 + bx + c$$ на каждом из полученных промежутков.
5. Выбрать промежутки, где выражение $$ax^2 + bx + c$$ удовлетворяет знаку неравенства.

Решим данное неравенство:

1. \(\frac{2x^2}{9} \leqslant \frac{x+3}{3}\)
2. Умножим обе части неравенства на 9:
3. $$2x^2 \leqslant 3(x+3)$$.
4. Раскроем скобки:
5. $$2x^2 \leqslant 3x+9$$.
6. Перенесем все в левую часть:
7. $$2x^2 - 3x - 9 \leqslant 0$$.
8. Найдем дискриминант квадратного уравнения $$2x^2 - 3x - 9 = 0$$:
9. $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$$.
10. Найдем корни уравнения:
11. $$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3+9}{4} = \frac{12}{4} = 3$$.
12. $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3-9}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$.
13. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки выражения $$2x^2 - 3x - 9$$ на каждом из промежутков:

      +               -               +
-------------------●-------------------●-------------------
                  -1,5                3

13. Выберем промежуток, где выражение $$2x^2 - 3x - 9 \leqslant 0$$.
14. Получаем, что решением неравенства является промежуток $$[-1.5; 3]$$.
15. Найдем целые числа, принадлежащие промежутку $$[-1.5; 3]$$ и принадлежащие промежутку $$[-2; 2]$$.
16. Целые числа, удовлетворяющие обоим условиям: -1, 0, 1, 2.
17. Посчитаем количество целых чисел: 4.

Ответ: 4