Найдите все шестизначные числа, которые при делении на 133 дают в остатке 125, а при делении на 134 дают в остатке 111.

Решим задачу пошагово.

1. Пусть x - искомое шестизначное число. Тогда, по условию задачи, имеем два уравнения с остатками:
   • $$x \equiv 125 \pmod{133}$$
   • $$x \equiv 111 \pmod{134}$$
2. Перепишем уравнения в виде:
   • $$x = 133k + 125$$
   • $$x = 134m + 111$$
   где k и m - целые числа.
3. Приравняем оба выражения для x: $$133k + 125 = 134m + 111$$ $$133k = 134m - 14$$ $$133k = 133m + m - 14$$ $$133(k - m) = m - 14$$ $$k - m = \frac{m - 14}{133}$$
4. Так как k и m - целые числа, то и $$k-m$$ должно быть целым числом. Следовательно, выражение $$\frac{m - 14}{133}$$ должно быть целым числом.
5. Обозначим это целое число как t: $$\frac{m - 14}{133} = t$$ $$m - 14 = 133t$$ $$m = 133t + 14$$
6. Подставим значение m в выражение для x: $$x = 134(133t + 14) + 111$$ $$x = 134 \cdot 133t + 134 \cdot 14 + 111$$ $$x = 17822t + 1876 + 111$$ $$x = 17822t + 1987$$
7. Теперь нужно найти такие значения t, чтобы x было шестизначным числом, то есть $$100000 \le x \le 999999$$.
8. Подставим выражение для x в это неравенство: $$100000 \le 17822t + 1987 \le 999999$$ Вычтем 1987 из всех частей неравенства: $$98013 \le 17822t \le 998012$$ Разделим все части неравенства на 17822: $$\frac{98013}{17822} \le t \le \frac{998012}{17822}$$ $$5.499 \le t \le 55.99$$
9. Так как t - целое число, то t может принимать значения от 6 до 55.
10. Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения x: $$x_{min} = 17822 \cdot 6 + 1987 = 106932 + 1987 = 108919$$ $$x_{max} = 17822 \cdot 55 + 1987 = 980210 + 1987 = 982197$$
11. Все возможные значения x находятся по формуле: $$x = 17822t + 1987$$, где t = 6, 7, ..., 55.

Таким образом, существуют 50 шестизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи.

Выпишем несколько первых чисел:

• t = 6: $$x = 17822 \cdot 6 + 1987 = 108919$$
• t = 7: $$x = 17822 \cdot 7 + 1987 = 126741$$
• t = 8: $$x = 17822 \cdot 8 + 1987 = 144563$$

...

• t = 53: $$x = 17822 \cdot 53 + 1987 = 946553$$
• t = 54: $$x = 17822 \cdot 54 + 1987 = 964375$$
• t = 55: $$x = 17822 \cdot 55 + 1987 = 982197$$

Ответ: Все шестизначные числа, которые при делении на 133 дают в остатке 125, а при делении на 134 дают в остатке 111, можно найти по формуле $$x = 17822t + 1987$$, где t принимает целые значения от 6 до 55.