Найдите все трехзначные числа, которые в 20 раз больше суммы своих цифр.

Краткая запись:

• Искомое число — трехзначное.
• Число = 20 * (сумма его цифр).

Пошаговое решение:

1. Пусть искомое трехзначное число будет представлено как $$100a + 10b + c$$, где $$a$$, $$b$$, и $$c$$ — цифры числа. $$a$$ — цифра сотен, $$b$$ — цифра десятков, $$c$$ — цифра единиц. При этом $$a \in \{1, 2, ..., 9\}$$, а $$b, c \in \{0, 1, ..., 9\}$$.
2. По условию задачи, число в 20 раз больше суммы своих цифр: \( 100a + 10b + c = 20(a + b + c) \).
3. Раскроем скобки и упростим уравнение:
   \( 100a + 10b + c = 20a + 20b + 20c \)
   \( 100a - 20a + 10b - 20b + c - 20c = 0 \)
   \( 80a - 10b - 19c = 0 \)
   \( 80a = 10b + 19c \)
4. Теперь подберем значения для $$a$$, $$b$$, и $$c$$, учитывая ограничения на цифры.
   Начнем с $$a=1$$:
   \( 80 \cdot 1 = 10b + 19c \)
   \( 80 = 10b + 19c \)
   Если $$c=0$$, то $$10b=80$$, $$b=8$$. Тогда число — 180. Сумма цифр: $$1+8+0=9$$. $$20 imes 9 = 180$$. Это решение подходит.
   Если $$c=1$$, то $$10b = 80 - 19 = 61$$. $$b$$ не целое.
   Если $$c=2$$, то $$10b = 80 - 38 = 42$$. $$b$$ не целое.
   Если $$c=3$$, то $$10b = 80 - 57 = 23$$. $$b$$ не целое.
   Если $$c=4$$, то $$10b = 80 - 76 = 4$$. $$b=0.4$$. $$b$$ не целое.
   Максимальное значение $$19c$$ может быть, когда $$b=0$$, $$80 = 19c$$, $$c \approx 4.2$$. Значит, $$c$$ может быть от 0 до 4.
5. Проверим $$a=2$$:
   \( 80 imes 2 = 10b + 19c \)
   \( 160 = 10b + 19c \)
   Максимальное значение $$10b$$ равно $$10 imes 9 = 90$$.
   Минимальное значение $$19c$$ равно $$19 imes 0 = 0$$.
   Максимальное значение $$19c$$ равно $$19 imes 9 = 171$$.
   Если $$c=5$$, $$19 imes 5 = 95$$. $$10b = 160 - 95 = 65$$. $$b$$ не целое.
   Если $$c=6$$, $$19 imes 6 = 114$$. $$10b = 160 - 114 = 46$$. $$b$$ не целое.
   Если $$c=7$$, $$19 imes 7 = 133$$. $$10b = 160 - 133 = 27$$. $$b$$ не целое.
   Если $$c=8$$, $$19 imes 8 = 152$$. $$10b = 160 - 152 = 8$$. $$b=0.8$$. $$b$$ не целое.
   Максимальное значение $$c$$ для $$a=2$$: $$19c < 160$$, $$c < 160/19 \\$$ ext{приблизительно} 8.4$$.
   Если $$b=9$$, $$10b=90$$. $$160 = 90 + 19c$$. $$19c = 70$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=8$$, $$10b=80$$. $$160 = 80 + 19c$$. $$19c = 80$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=7$$, $$10b=70$$. $$160 = 70 + 19c$$. $$19c = 90$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=6$$, $$10b=60$$. $$160 = 60 + 19c$$. $$19c = 100$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=5$$, $$10b=50$$. $$160 = 50 + 19c$$. $$19c = 110$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=4$$, $$10b=40$$. $$160 = 40 + 19c$$. $$19c = 120$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=3$$, $$10b=30$$. $$160 = 30 + 19c$$. $$19c = 130$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=2$$, $$10b=20$$. $$160 = 20 + 19c$$. $$19c = 140$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=1$$, $$10b=10$$. $$160 = 10 + 19c$$. $$19c = 150$$. $$c$$ не целое.
   Если $$b=0$$, $$10b=0$$. $$160 = 0 + 19c$$. $$19c = 160$$. $$c$$ не целое.
6. Проверим $$a=3$$:
   \( 80 imes 3 = 10b + 19c \)
   \( 240 = 10b + 19c \)
   Максимальное значение $$10b$$ равно $$90$$.
   Максимальное значение $$19c$$ равно $$171$$.
   $$10b + 19c e 240$$. Даже если $$b=9$$ и $$c=9$$, $$90 + 171 = 261$$.
   Проверим $$b=9$$: $$240 = 90 + 19c ightarrow 19c = 150 ightarrow c$$ не целое.
   Проверим $$c=9$$: $$240 = 10b + 19 imes 9 ightarrow 240 = 10b + 171 ightarrow 10b = 69 ightarrow b$$ не целое.
   Нет решений для $$a=3$$.
7. Вывод: Единственным решением является число 180.

Ответ: 180