12. Найдите все тройки целых чисел (k,m,n), удовлетворяющих равенству 1/k+1/m+1/n=1.

Ответ: (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3) и все перестановки этих троек

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Анализ уравнения

  Дано уравнение: \[\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1\]

  Так как k, m, n – целые числа, каждое из них должно быть больше 1, иначе сумма будет больше 1. Допустим, что \(k \le m \le n\).

• Шаг 2: Ограничения на k

  Если бы \(k, m, n \ge 4\), то \(\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} < 1\). Следовательно, k должно быть меньше 4, то есть \(k = 2 \text{ или } k = 3\).

• Шаг 3: Случай k = 2

  Если \(k = 2\), то уравнение принимает вид: \[\frac{1}{2} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1\] \[\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2}\]

  Так как \(m \le n\), то \(\frac{1}{m} \ge \frac{1}{n}\), следовательно, \(\frac{1}{m} \ge \frac{1}{4}\), т.е. \(m \le 4\). Имеем два варианта: \(m = 3 \text{ или } m = 4\).

  • Если \(m = 3\), то: \[\frac{1}{3} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2}\] \[\frac{1}{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\] \[n = 6\] Получаем тройку (2, 3, 6).
  • Если \(m = 4\), то: \[\frac{1}{4} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2}\] \[\frac{1}{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\] \[n = 4\] Получаем тройку (2, 4, 4).
• Шаг 4: Случай k = 3

  Если \(k = 3\), то уравнение принимает вид: \[\frac{1}{3} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 1\] \[\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{2}{3}\]

  Так как \(m \le n\), то \(\frac{1}{m} \ge \frac{1}{n}\), следовательно, \(\frac{1}{m} \ge \frac{1}{3}\), т.е. \(m \le 3\). Поскольку \(k \le m\), то \(m = 3\). \[\frac{1}{3} + \frac{1}{n} = \frac{2}{3}\] \[\frac{1}{n} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\] \[n = 3\] Получаем тройку (3, 3, 3).

• Шаг 5: Перестановки

  Так как в уравнении k, m, n равноправны, можно переставлять числа в тройках. Таким образом, все возможные тройки:

  • (2, 3, 6) и все перестановки: (2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2).
  • (2, 4, 4) и все перестановки: (2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2).
  • (3, 3, 3) и все перестановки: (3, 3, 3).

Ответ: (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3) и все перестановки этих троек