17) Найдите все трёхзначные числа, которые в 11 раз больше суммы своих цифр.

Решение: Пусть трёхзначное число имеет вид $$\overline{abc}$$, где a, b и c - цифры от 0 до 9, и a ≠ 0. Тогда число можно записать как 100a + 10b + c. Сумма цифр равна a + b + c. По условию, число в 11 раз больше суммы своих цифр, то есть: 100a + 10b + c = 11(a + b + c) 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c 89a - b - 10c = 0 b = 89a - 10c Так как b - цифра, то 0 ≤ b ≤ 9. Подставим b в неравенство: 0 ≤ 89a - 10c ≤ 9 Теперь рассмотрим возможные значения a. Так как a ≠ 0, начнем с a = 1: Если a = 1, то b = 89 - 10c. Чтобы 0 ≤ b ≤ 9, нужно чтобы 89 - 10c было между 0 и 9. 89 - 10c ≥ 0 => 10c ≤ 89 => c ≤ 8.9. Значит, c может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 89 - 10c ≤ 9 => 10c ≥ 80 => c ≥ 8. Значит, c может быть только 8. Тогда b = 89 - 10 * 8 = 89 - 80 = 9. Число: 198. Проверим: 198 / (1 + 9 + 8) = 198 / 18 = 11. Верно. Если a ≥ 2, то 89a будет как минимум 178, и даже при c = 8 и c = 9, b выйдет за пределы допустимых значений. Ответ: 198