Найдите все целые значения а, удовлетворяющие условию |al≤10, при которых уравнение х⁴-(a+2)x²+а+5=0 имеет ровно два различных корня. Запишите в ответ количество найденных значений.

Дано:

Уравнение: \( x^4 - (a+2)x^2 + a+5 = 0 \)

Условие: \( |a| \le 10 \), \( a \in \mathbb{Z} \)

Требуется найти количество таких значений \( a \), при которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Решение:

1. Замена переменной:

   Введем замену \( t = x^2 \). Так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, то \( t \ge 0 \).

   Исходное уравнение примет вид квадратного относительно \( t \):

   \[ t^2 - (a+2)t + (a+5) = 0 \]
2. Анализ корней квадратного уравнения:

   Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, квадратное уравнение относительно \( t \) должно удовлетворять следующим условиям:

   • Случай 1: Один положительный корень \( t_1 > 0 \) и один неположительный корень \( t_2 ≤ 0 \). В этом случае \( x^2 = t_1 \) даст два различных корня \( x = ± \sqrt{t_1} \), а \( x^2 = t_2 \) либо не даст корней (если \( t_2 < 0 \)), либо даст один корень \( x=0 \) (если \( t_2=0 \)), но нам нужно ровно два.
   • Случай 2: Два положительных различных корня \( t_1 > 0 \) и \( t_2 > 0 \). В этом случае \( x^2 = t_1 \) даст \( x = ± \sqrt{t_1} \) (два корня), и \( x^2 = t_2 \) даст \( x = ± \sqrt{t_2} \) (еще два корня). Итого четыре различных корня. Этот случай нам не подходит.
   • Случай 3: Один положительный корень \( t_1 > 0 \) и \( t_2 = 0 \). Тогда \( x^2 = t_1 \) даст два корня \( ±\sqrt{t_1} \), а \( x^2 = 0 \) даст один корень \( x=0 \). Итого три корня. Этот случай нам не подходит.
   • Случай 4: Один положительный корень \( t_1 > 0 \) и \( t_2=0 \). Это тоже нам не подходит.

   Вывод: Нам подходит только первый случай, когда одно значение \( t \) положительное, а другое неположительное ( \( t_2 ≤ 0 \)).

3. Применение теоремы Виета и условий:

   Для квадратного уравнения \( t^2 - (a+2)t + (a+5) = 0 \):

   Сумма корней: \( t_1 + t_2 = a+2 \)

   Произведение корней: \( t_1 \times t_2 = a+5 \)

   Условие, чтобы один корень был положительным, а другой неположительным ( \( t_1 > 0 \) и \( t_2 ≤ 0 \)), эквивалентно тому, что произведение корней неположительно:

   \[ t_1 \times t_2 ≤ 0 \]\[ a+5 ≤ 0 \]\[ a ≤ -5 \]
4. Дополнительное условие: случай, когда один из корней t=0

   Если \( t = 0 \) является корнем, то \( 0^2 - (a+2) \times 0 + (a+5) = 0 \), откуда \( a+5 = 0 \), то есть \( a = -5 \).

   Если \( a = -5 \), то уравнение для \( t \) становится:

   \[ t^2 - (-5+2)t + (-5+5) = 0 \]\[ t^2 + 3t = 0 \]\[ t(t+3) = 0 \]

   Корни: \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = -3 \).

   Подставляя в \( x^2 = t \):

   • \( x^2 = 0 → x = 0 \) (один корень)
   • \( x^2 = -3 → \) действительных корней нет.

   В этом случае у исходного уравнения только один корень \( x=0 \). Нам нужно два различных корня. Значит, случай \( t_2=0 \) нам не подходит, поэтому нужно строго \( t_1 \times t_2 < 0 \).

5. Уточнение условия:

   Из анализа предыдущих пунктов следует, что для получения ровно двух различных корней, квадратное уравнение относительно \( t \) должно иметь один положительный корень и один отрицательный корень. Это достигается, когда произведение корней отрицательно:

   \[ t_1 \times t_2 < 0 \]\[ a+5 < 0 \]\[ a < -5 \]
6. Применение условия |a|≤10:

   Мы ищем целые значения \( a \) такие, что \( a < -5 \) и \( |a| ≤ 10 \).

   Условие \( |a| ≤ 10 \) означает, что \( -10 ≤ a ≤ 10 \).

   Объединяя условия \( a < -5 \) и \( -10 ≤ a ≤ 10 \), получаем:

   \[ -10 ≤ a < -5 \]
7. Подсчет целых значений:

   Целые значения \( a \) в интервале \( [-10, -5) \) это:

   \( -10, -9, -8, -7, -6 \).

   Всего таких значений 5.

8. Проверка дискриминанта:

   Для того, чтобы квадратное уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным: \( D = (a+2)^2 - 4(a+5) ≥ 0 \).

   \[ D = a^2 + 4a + 4 - 4a - 20 = a^2 - 16 ≥ 0 \]\[ (a-4)(a+4) ≥ 0 \]

   Это означает, что \( a ≥ 4 \) или \( a ≤ -4 \).

   Из нашего полученного интервала \( -10 ≤ a < -5 \), все значения удовлетворяют условию \( a ≤ -4 \).

   Таким образом, условия \( a < -5 \) и \( D ≥ 0 \) совместно гарантируют, что у квадратного уравнения будут два действительных корня, один из которых отрицательный, а другой положительный (так как \( a+5 < 0 \) и \( a+2 \) может быть как положительным, так и отрицательным, но \( t_1 \times t_2 < 0 \) гарантирует один положительный и один отрицательный корень).

Ответ: 5