Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение \[ \frac{2a - x^2 + 3x}{x - a^2} = 0 \] имеет ровно два различных корня.

Привет! Давай вместе решим эту задачу!

Для начала запишем условие, при котором дробь равна нулю:

1) Числитель должен быть равен нулю: \[2a - x^2 + 3x = 0\]

2) Знаменатель не должен быть равен нулю: \[x - a^2
eq 0\]

Преобразуем числитель: \[x^2 - 3x - 2a = 0\]

Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля:

\[D = (-3)^2 - 4(1)(-2a) > 0\]

\[9 + 8a > 0\]

\[8a > -9\]

\[a > -\frac{9}{8}\]

Теперь учтем условие, что знаменатель не должен быть равен нулю. Это означает, что корни числителя не должны совпадать с \(a^2\).

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(x^2 - 3x - 2a = 0\). Тогда \(x_1
eq a^2\) и \(x_2
eq a^2\).

Выразим корни через формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8a}}{2}\]

Теперь нужно проверить, что \(x = a^2\) не является корнем уравнения, то есть:

\[(a^2)^2 - 3(a^2) - 2a
eq 0\]

\[a^4 - 3a^2 - 2a
eq 0\]

\[a(a^3 - 3a - 2)
eq 0\]

\[a(a+1)(a^2-a-2)
eq 0\]

\[a(a+1)(a+1)(a-2)
eq 0\]

\[a(a+1)^2(a-2)
eq 0\]

Значит, \(a
eq 0\), \(a
eq -1\), \(a
eq 2\).

Теперь соберем все условия вместе:

1) \(a > -\frac{9}{8}\)

2) \(a
eq 0\)

3) \(a
eq -1\)

4) \(a
eq 2\)

Объединяя все условия, получаем:

\[a \in \left(-\frac{9}{8}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)\)\]

Ты отлично справился с этой задачей! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!