Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x² − 3x)a² + (x⁴ − 3x³ − 27x + 81)a − 27x³ + 81x² = 0 имеет ровно два различных корня.

Сгруппируем слагаемые по общим множителям:

\(x^2-3x=x(x-3)\),

\(x^4-3x^3-27x+81=(x-3)(x^3-27)=(x-3)^2(x^2+3x+9)\),

\(-27x^3+81x^2=-27x^2(x-3)\).

Тогда уравнение равносильно

\((x-3)\bigl(a^2x+a(x-3)(x^2+3x+9)-27x^2\bigr)=0\).

Корень \(x=3\) есть при любом \(a\). Для остальных корней используем тождество \((x-3)(x^2+3x+9)=x^3-27\): второй множитель равен \(a x^3-27x^2+a^2x-27a\).

При \(a=0\) этот множитель равен \(-27x^2\neq0\) для \(x\neq3\), поэтому имеется только один корень \(x=3\). При \(a\neq0\) многочлен второго множителя — кубический, и \(x=3\) также является его корнем. Разложение даёт

\(a x^3-27x^2+a^2x-27a=(x-3)(a x^2+(3a-27)x+9a)\).

Следовательно, исходное уравнение имеет ровно два различных корня тогда и только тогда, когда квадратный трёхчлен \(a x^2+(3a-27)x+9a\) имеет ровно один корень, отличный от \(3\).

При \(a\neq0\) это возможно, если дискриминант равен нулю либо если трёхчлен имеет двойной корень \(3\). Дискриминант:

\(D=(3a-27)^2-36a^2=-27(a^2+6a-27)\).

Из \(D=0\) получаем \(a=3\) или \(a=-9\). При \(a=3\) трёхчлен равен \(3(x-3)^2\), поэтому новых корней нет; исходное уравнение имеет один различный корень. При \(a=-9\) трёхчлен равен \(-9(x+6)^2\), его единственный корень \(-6\) отличен от 3, и исходное уравнение имеет два различных корня: \(3\) и \(-6\).

Двойной корень трёхчлена равен \(3\), когда \(-\frac{3a-27}{2a}=3\), откуда \(a=9\). При этом трёхчлен равен \(9(x-3)^2\), так что вновь остаётся только корень \(x=3\).

Ответ: \(a=-9\).