Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x⁴ + (a − 4)² = |x − a + 4| + |x + a − 4| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Положим b = a − 4 и t = |b|. Тогда правая часть равна |x − b| + |x + b| = 2 max(|x|, t). Обозначим u = |x|. Уравнение принимает вид u⁴ + t² = 2 max(u, t).

Если u ≤ t, то u⁴ = 2t − t². При t = 2 получаем u = 0, а при u ≥ t уравнение u⁴ − 2u + t² = 0 решений не имеет: при t = 2 и u ≥ 2 левая часть положительна. Значит, при t = 2 исходное уравнение имеет ровно одно решение x = 0.

Если t > 2, то при u ≤ t величина u⁴ + t² не меньше t² > 2t, а при u ≥ t имеем u⁴ + t² > 2u. Поэтому решений нет.

При 0 ≤ t < 2 единственного решения или отсутствия решений не получается: при t = 0 есть решения u = 0 и u = ∛2; при 0 < t < 1 уравнение на участке u ≥ t имеет положительный корень, а при 1 ≤ t < 2 уже существует корень с u ≤ t. Положительный корень u даёт два решения x = ±u.

Ответ: t = 2 или t > 2, то есть |a − 4| ≥ 2; следовательно, a ≤ 2 или a ≥ 6.