Найдите все значения числа а, при которых уравнение \(ax^2 - 5ax - 3 = 0\) имеет два корня.

Пошаговое решение:

• Рассмотрим уравнение \(ax^2 - 5ax - 3 = 0\).
• Для того чтобы уравнение было квадратным, необходимо, чтобы \(a ≠ 0\).
• Вычислим дискриминант \(D\): \(D = (-5a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-3) = 25a^2 + 12a\)
• Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля: \(25a^2 + 12a > 0\)
• Разложим на множители выражение \(25a^2 + 12a\): \(a(25a + 12) > 0\)
• Найдем корни выражения \(a(25a + 12) = 0\): \(a = 0\) или \(25a + 12 = 0\) отсюда \(a = -\frac{12}{25} = -0.48\).
• Определим знаки выражения \(a(25a + 12)\) на числовой прямой. Так как \(a ≠ 0\), рассмотрим интервалы:

1. Если \(a < -0.48\), то \(a < 0\) и \(25a + 12 < 0\), следовательно, \(a(25a + 12) > 0\).
2. Если \(-0.48 < a < 0\), то \(a < 0\) и \(25a + 12 > 0\), следовательно, \(a(25a + 12) < 0\).
3. Если \(a > 0\), то \(a > 0\) и \(25a + 12 > 0\), следовательно, \(a(25a + 12) > 0\).

Ответ: \(a < -0.48\) или \(a > 0\). В виде интервалов: \((-\infty; -0.48) \cup (0; +\infty)\)