21. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система { y² + (a + 2)x² - a²+4=0, y-x=a имеет единственное решение.

Решение:

Давай решим эту задачу вместе. Нам нужно найти все значения параметра \( a \), при которых система уравнений имеет единственное решение.

Система уравнений выглядит так:

\[\begin{cases} y^2 + (a + 2)x^2 - a^2 + 4 = 0, \\ y - x = a \end{cases}\]

Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = x + a \). Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(x + a)^2 + (a + 2)x^2 - a^2 + 4 = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 + 2ax + a^2 + (a + 2)x^2 - a^2 + 4 = 0\] \[(a + 3)x^2 + 2ax + 4 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \( x \). Чтобы система имела единственное решение, нужно чтобы это квадратное уравнение имело единственный корень. Это происходит в двух случаях:

1. Квадратное уравнение вырождается в линейное (коэффициент при \( x^2 \) равен нулю).
2. Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю).

Случай 1: \( a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3 \). Тогда уравнение принимает вид:

\[-6x + 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\]

Подставим \( x = \frac{2}{3} \) в \( y = x + a \):

\[y = \frac{2}{3} - 3 = -\frac{7}{3}\]

В этом случае у нас единственное решение \( (x, y) = (\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}) \). Так что \( a = -3 \) подходит.

Случай 2: Дискриминант квадратного уравнения равен нулю:

\[D = (2a)^2 - 4(a + 3)(4) = 0\] \[4a^2 - 16(a + 3) = 0\] \[a^2 - 4(a + 3) = 0\] \[a^2 - 4a - 12 = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно \( a \):

\[(a - 6)(a + 2) = 0\]

Получаем два значения: \( a = 6 \) и \( a = -2 \).

Проверим \( a = 6 \):

\[9x^2 + 12x + 4 = 0\] \[(3x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\] \[y = x + a = -\frac{2}{3} + 6 = \frac{16}{3}\]

В этом случае у нас единственное решение \( (x, y) = (-\frac{2}{3}, \frac{16}{3}) \). Так что \( a = 6 \) подходит.

Проверим \( a = -2 \):

\[x^2 - 4x + 4 = 0\] \[(x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\] \[y = x + a = 2 - 2 = 0\]

В этом случае у нас единственное решение \( (x, y) = (2, 0) \). Так что \( a = -2 \) подходит.

Итак, значения параметра \( a \), при которых система имеет единственное решение, это \( a = -3, a = -2, a = 6 \).

Ответ: -3; -2; 6