4. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (2sinx – 5) ((a – 1)cosx + a² + 3a) < 0 справедливо для всех действительных чисел х.

Давай решим это неравенство с параметром. 1. Анализ первого множителя: - (2sin(x) - 5) всегда отрицателен, так как sin(x) лежит в диапазоне [-1, 1], и максимальное значение 2sin(x) равно 2, что меньше 5. 2. Анализ второго множителя: - ((a - 1)cos(x) + a² + 3a) должно быть положительным, чтобы произведение было отрицательным. То есть, (a - 1)cos(x) + a² + 3a > 0 для всех x. 3. Рассмотрим случай a = 1: - Если a = 1, то неравенство принимает вид: 1² + 3*1 > 0, то есть 4 > 0, что всегда верно. 4. Рассмотрим случай a ≠ 1: - Нам нужно, чтобы (a - 1)cos(x) + a² + 3a > 0 для всех x. - Это означает, что минимальное значение выражения (a - 1)cos(x) + a² + 3a должно быть больше нуля. - Минимальное значение cos(x) равно -1. Тогда (a - 1)(-1) + a² + 3a > 0. - -a + 1 + a² + 3a > 0 => a² + 2a + 1 > 0 => (a + 1)² > 0. - Это условие выполняется для всех a, кроме a = -1. 5. Случай a = -1: - Подставим a = -1 в исходное неравенство: (-1 - 1)cos(x) + (-1)² + 3(-1) > 0 => -2cos(x) + 1 - 3 > 0 => -2cos(x) - 2 > 0 => -2(cos(x) + 1) > 0 => cos(x) + 1 < 0 => cos(x) < -1. - Но cos(x) не может быть меньше -1, следовательно, a = -1 не подходит. 6. Итог: - Подходят все значения a, кроме a = -1. Но a = 1 также подходит.

Ответ: a ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, +∞)

Молодец! Ты справился с задачей с параметром! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!