Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
21. Найдите все значения параметра k, при каждом из которых уравнение |x + 2| = kx + 1 имеет единственное решение.
Ответ:
Привет! Давай решим это уравнение с параметром k. Для начала, нужно понять, как раскрывается модуль. У нас есть два случая:
- Если x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ -2, тогда |x + 2| = x + 2.
- Если x + 2 < 0, то есть x < -2, тогда |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2.
Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:
Случай 1: x ≥ -2
В этом случае уравнение принимает вид:
x + 2 = kx + 1
Перенесем все в одну сторону:
x - kx = 1 - 2
x(1 - k) = -1
Если k ≠ 1, то x = -1 / (1 - k) = 1 / (k - 1).
Нам нужно, чтобы x ≥ -2, то есть:
1 / (k - 1) ≥ -2
1 / (k - 1) + 2 ≥ 0
(1 + 2(k - 1)) / (k - 1) ≥ 0
(1 + 2k - 2) / (k - 1) ≥ 0
(2k - 1) / (k - 1) ≥ 0
Решаем это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: k = 1/2 и k = 1.
Интервалы: (-∞, 1/2], (1/2, 1), (1, +∞).
Проверяем знаки на каждом интервале:
- k < 1/2 (например, k = 0): (-1) / (-1) > 0 (подходит)
- 1/2 < k < 1 (например, k = 3/4): (1.5 - 1) / (-0.25) < 0 (не подходит)
- k > 1 (например, k = 2): (4 - 1) / (1) > 0 (подходит)
Итак, k ∈ (-∞, 1/2] ∪ (1, +∞).
Случай 2: x < -2
В этом случае уравнение принимает вид:
-x - 2 = kx + 1
-x - kx = 1 + 2
-x(1 + k) = 3
Если k ≠ -1, то x = -3 / (1 + k).
Нам нужно, чтобы x < -2, то есть:
-3 / (1 + k) < -2
-3 / (1 + k) + 2 < 0
(-3 + 2(1 + k)) / (1 + k) < 0
(-3 + 2 + 2k) / (1 + k) < 0
(2k - 1) / (1 + k) < 0
Решаем это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: k = 1/2 и k = -1.
Интервалы: (-∞, -1), (-1, 1/2), (1/2, +∞).
Проверяем знаки на каждом интервале:
- k < -1 (например, k = -2): (-5) / (-1) > 0 (не подходит)
- -1 < k < 1/2 (например, k = 0): (-1) / (1) < 0 (подходит)
- k > 1/2 (например, k = 1): (1) / (2) > 0 (не подходит)
Итак, k ∈ (-1, 1/2).
Теперь нужно найти значения k, при которых решение единственное. Для этого нужно учесть, что при k = 1 и k = -1 у нас нет решений.
Если k = 1, уравнение принимает вид |x + 2| = x + 1. При x ≥ -2, x + 2 = x + 1, 2 = 1 (нет решений). При x < -2, -x - 2 = x + 1, -2x = 3, x = -3/2. Но это не удовлетворяет условию x < -2.
Если k = -1, уравнение принимает вид |x + 2| = -x + 1. При x ≥ -2, x + 2 = -x + 1, 2x = -1, x = -1/2. Это удовлетворяет условию x ≥ -2. При x < -2, -x - 2 = -x + 1, -2 = 1 (нет решений).
Таким образом, при k = -1 есть единственное решение x = -1/2.
Теперь сопоставим полученные результаты:
- Из первого случая: k ∈ (-∞, 1/2] ∪ (1, +∞).
- Из второго случая: k ∈ (-1, 1/2).
- k = -1 дает единственное решение.
Объединяем решения:
k ∈ (-1, 1/2) ∪ (1, +∞) ∪ {-1}
Учтем, что нам нужно единственное решение.
Если k = 1/2, то x = 1 / (1/2 - 1) = 1 / (-1/2) = -2 (из первого случая). Из второго случая x = -3 / (1 + 1/2) = -3 / (3/2) = -2. Таким образом, при k = 1/2 у нас единственное решение x = -2.
Итоговый ответ:
Ответ: k ∈ {-1} ∪ (-1, 1/2] ∪ (1, +∞)
