1. Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см. 2. Диагонали ромба равны 14см. и 48 см. Найдите сторону ромба. 3. В параллелограмме две стороны 12см. и 16 см., а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма. 4.В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 75°, высота BD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС. 5. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон - 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника. 6. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Решение задачи №1:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора): $$a^2 + b^2 = c^2$$, где a и b - катеты, с - гипотенуза.

Дано: гипотенуза с = 17 см, катет а = 15 см.

Нужно найти: катет b.

Решение:

Выразим катет b из теоремы Пифагора: $$b^2 = c^2 - a^2$$

Подставим значения: $$b^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$

Найдем b: $$b = \sqrt{64} = 8$$ см.

Ответ: 8 см.

Решение задачи №2:

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Пусть диагонали ромба $$d_1$$ и $$d_2$$, тогда половинки диагоналей $$d_1/2$$ и $$d_2/2$$ являются катетами прямоугольного треугольника, а сторона ромба - гипотенузой.

Дано: $$d_1 = 14$$ см, $$d_2 = 48$$ см.

Нужно найти: сторону ромба а.

Решение:

По теореме Пифагора: $$a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$$

Подставим значения: $$a^2 = (14/2)^2 + (48/2)^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$

Найдем a: $$a = \sqrt{625} = 25$$ см.

Ответ: 25 см.

Решение задачи №3:

Площадь параллелограмма равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними: $$S = a \cdot b \cdot sin(\alpha)$$, где a и b - стороны параллелограмма, α - угол между ними.

Дано: $$a = 12$$ см, $$b = 16$$ см, $$\alpha = 150^\circ$$.

Нужно найти: площадь параллелограмма S.

Решение:

Подставим значения: $$S = 12 \cdot 16 \cdot sin(150^\circ)$$

Так как $$sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = 0.5$$, то

$$S = 12 \cdot 16 \cdot 0.5 = 12 \cdot 8 = 96$$ кв. см.

Ответ: 96 кв. см.

Решение задачи №4:

В треугольнике ABC известны два угла: $$∠A = 30^\circ$$ и $$∠B = 75^\circ$$. Следовательно, третий угол: $$∠C = 180^\circ - ∠A - ∠B = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$$. Так как $$∠B = ∠C$$, то треугольник ABC равнобедренный, AB = AC.

Высота BD = 6 см. Площадь треугольника ABC можно найти как $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$.

В прямоугольном треугольнике ABD: $$sin(A) = \frac{BD}{AB}$$, следовательно, $$AB = \frac{BD}{sin(A)} = \frac{6}{sin(30^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12$$ см.

Так как AB = AC, то AC = 12 см.

Площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36$$ кв. см.

Ответ: 36 кв. см.

Решение задачи №5:

В прямоугольнике диагональ равна 13 см, а одна из сторон 5 см. Пусть стороны прямоугольника a и b, тогда по теореме Пифагора $$a^2 + b^2 = d^2$$, где d - диагональ.

Дано: $$d = 13$$ см, $$a = 5$$ см.

Решение:

$$b^2 = d^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

$$b = \sqrt{144} = 12$$ см.

Площадь прямоугольника: $$S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60$$ кв. см.

Периметр прямоугольника: $$P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34$$ см.

Ответ: Площадь 60 кв. см, периметр 34 см.

Решение задачи №6:

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 см и 20 см. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Отрезок между основаниями высот равен меньшему основанию (10 см), тогда оставшиеся отрезки на большем основании равны $$\frac{20 - 10}{2} = 5$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком на большем основании. По теореме Пифагора $$h^2 + 5^2 = 13^2$$, где h - высота трапеции.

$$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

$$h = \sqrt{144} = 12$$ см.

Площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$$ кв. см.

Ответ: 180 кв. см.